Os Quatérnions

 

Os chamados números complexos podem ser definidos como os números da forma z = (x,y), onde x e y são números reais, com a adição definida por

 

(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) ,

 

Lembrando, esta Operação é denominada Interna. Considerando o Produto Cartesiano de R² por R², ou seja: R² x R² = {(a,b); onde a,b ∈ R²}. Esta Operação Interna é definida por uma função F: R² x R² → R², de maneira que F((a,b) ; (c,d)) = (a+c,b+d).

 

e a multiplicação definida por

 

(x1,y1)(x2,y2) = (x1 x2 - y1y2 , x1 y2 + x2 y1) .

 

Lembrando, esta Operação é denominada Interna. Considerando o Produto Cartesiano de R² por R², ou seja: R² x R² = {(a,b); onde a,b ∈ R²}. Esta Operação Interna é definida por uma função F: R² x R² → R², de maneira que F((a,b) ; (c,d)) = (a.c-bd,a.d+cb).

 

 

Embora no dia a dia quando pensamos em números o que nos vem em mente são os números reais, é justo chamarmos estes objetos da forma (x,y) com a multiplicação acima definida de números. O motivo é que eles satisfazem as mesmas propriedades algébricas dos números reais, no sentido do conceito ou Estrutura Matemática de um Corpo. Vejamos quais são as propriedades satisfeitas pelos números reais.

 

Primeiro, no conjunto dos Números Reais R estão definidas duas Operações Internas, a chamada adição (denotada por +, de modo que dados dois números x e y a adição destes escreve-se x + y) e a multiplicação (denotada por um ponto que é frequentemente omitido, de modo a escrevermos a multiplicação dos números x e y simplesmente como xy). Com relação à adição, verificamos as seguintes propriedades para números reais x, y e z: 
 

 

(i) Associatividade. Não importa a preferência com que efetuamos a adição: x + (y + z) = (x + y) + z. 
(ii) Existência do elemento neutro. Existe um elemento chamado "zero'', denotado por 0, tal que x + 0 = 0 + x = x. 
(iii) Existência do inverso. Para qualquer nmero x existe um único número, denotado por -x, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0. 
(iv) Comutatividade. Não importa a ordem com que efetuamos a adição: x + y = y + x. 
Em Resumo R munido da operação de adição, ou seja (R,+) é um GRUPO considerando-se as propriedade (i), (ii), (iii). E se considerarmos satisfeita a Propriedade adicional (iv), então dizemos que (G,+) é um GRUPO COMUTATIVO.

 

Com relação à multiplicação, as seguintes propriedades são satisfeitas: 
 

 

(i) Associatividade. Não importa a preferência com que efetuamos a multiplicação: (x y) z = x (y z) . 
(ii) Existência do elemento neutro. Existe um elemento chamado "um'', denotado por 1, tal que x1 = 1x = x. 
(iii) Existência do inverso. Para qualquer número x ≠ 0 existe um único número, denotado por      (=1/x), tal qu e     x = x      = 1. 
(iv) Comutatividade. Não importa a ordem com que efetuamos a multiplicação: xy = yx. 

Em Resumo, R munido da operação de Multiplicação, ou seja (R,.) é um Semi-Grupo considerando-se apenas a Propriedade (i). 

 

 

 

Finalmente, existe uma propriedade relacionando as operações de Adição e Multiplicação, que é a 

 

(v) Distributividade. Temos: x(y + z) = xy + xz . 

Em Resumo R munido da operação de Adição e de Multiplicação, ou seja (R,+,.) satisfazendo a Propriedade (V) é um Anel. Se além disso, é satisfeita a Propriedade (iv), então dizemos que (R,+,.) é um ANEL COMUTATIVO. Se além disso considerando-se satisfeita a propriedade adicional (ii), então dizemos que (R,+,.) é um ANEL COMUTATIVO COM UNIDADE "1".¹ E se além disso, for satisfeita a propriedade (iii) onde todos seus elementos diferentes de "0" possuem INVERSO, então (R,+,.) é denominado um CORPO.

 

 

 

Utilizando o senso de abstração próprio da Matemática, podemos dizer que os números reais merecem a denominação "números'' pelo fato de satisfazerem as propriedades acima.

 

Por outro lado, se olharmos para os objetos da forma (x,y), onde x e y são números reais, com a adição e multiplicação definidas como acima, veremos que todas as propriedades acima são satisfeitas. Para verificarmos isto basta substituírmos nas expressões acima os números reais pelos agora pares de números reais como definidos acima e lembrarmos que o elemento ``zero'' agora é (0,0) e o ``um'' é (1,0). Como consequência, é justo chamarmos tais objetos de ``números'', e para diferenciá-los dos números reais os chamaremos de números complexos.

 

O fato aparentemente ``exótico'' dos números complexos é que existem números complexos z tais que z2 < 0. Em particular, existe um número, denotado por i, tal que i2 = -1. Esse número é justamente

 

i = (0,1) .

 

Se usarmos a definição dada acima para o produto vemos que

 

i2 = (0,1)(0,1) = (0 0 - 1 1,0 1 + 1 0) = (-1,0) = -(1,0)

 

Como os números reais podem ser identificados com os números complexos da forma (x,0) podemos identificar o ``um'' dos números complexos, que e' (1,0), com o ``um'' dos números reais, que é 1, e daí, em função da equação acima, segue

 

i2 = -1 .

 

Esses números complexos podem ser representados por pontos no chamado plano de Argand-Gauss (embora a denominação mais justa seja plano de Wessel-Argand-Gauss). Dentro da tradição cartesiana, podemos associarcoordenadas aos pontos de um plano. O número complexo da forma (x,y) pode ser representado como um ponto neste plano, no caso um ponto de coordendas (x,y). Wessel mostrou em 1799 que se representarmos por 1 um segmento de reta unitário e por ß um outro segmento de reta unitário perpendicular ao prirmeiro, então as relações geométricas euclideanas nesse plano implicavam que ß2 = -1; com isso Wessel forneceu uma interpretação geométrica através do objeto ß para a entidade algébrica i.O trabalho do dinamarquês Wessel entretanto só ficou conhecido em 1897 quando foi traduzido para o Francês. Argand em 1803 e Gauss em 1831 independentemente descobriram a representação geométrica que hoje leva os seus nomes. É importante salientarmos aqui que Wessel, Argand e Gauss procuraram por um sistema algébrico relacionado não com um plano mas sim com o espaço (tridimensional). Nenhum deles obteve sucesso, que só veio com Hamilton.

 

Ora, uma vez que podemos representar os números complexos através de um plano, a pergunta natural que podemos colocar é se existem outros ``números'' (números ``super-complexos'', ``hiper-complexos'', ``ultra-complexos'', como queiram!) tais que estes possam ser representados por pontos no espaço (tridimensional). Além de Wessel, Argand e Gauss, após descobrirem a representação acima dos números complexos, várias outras pessoas tentaram responder a esta questão. Todos tentaram, como seria natural de se esperar, uma solução usando não mais pares de números reais mas sim triplas de números reais, ou seja, objetos da forma (x,y,z). Embora a definição da adição destes objetos seja óbvia, o mesmo não o é com relação a multiplicação, e neste ponto que as tentativas acima descritas falharam. O motivo pelo qual cada uma dessas tentativas falhou depende é claro da particular definição de produto empregada, e a análise de cada caso em particular está fora de contexto.

 

Existem evidências históricas de que em torno de 1830 Hamilton procurava por tal sistema de triplas. Ao contrário de outros matemáticos que atacaram este problema, Hamilton tinha claro a abstração do problema: as propriedades (i)-(iv) discutidas acima para a multiplicação dos números complexos ``deveriam'' ser satisfeitas para as triplas, assim como a distributividade (a adição não apresenta problemas). Após várias tentativas infrutíferas, ficou claro para Hamilton que alguma daquelas propriedades não deveria ser satisfeita. Foi só em outubro de 1843 que Hamilton descobriu como uma estrutura coerente poderia ser obtida, bastando para isso abrir mão de apenas uma daquelas propriedades. A solução era procurar não por triplas (x,y,z) mas sim por quadras (x,y,z,w). Tal sistema foi denominado quatérnions.

 

Q1 = (x1,y1,z1,w1) e Q2 = (x2,y2,z2,w2), a soma é definida obviamente como

 

Q1 + Q2 = (x1+x2,y1+y2,z1+z2,w1+w2) ,

 

e satisfaz claramente as propriedades de associatividade, de existência do elemento neutro (0,0,0,0), de existência do inverso e de comutatividade. A questão é a definição do produto, e este é definido como

 

Q1Q2 = (x1x2 - y1y2 - z1z2 - w1w2, 
             x1y2 + y1x2 + z1w2 - w1z2, 
             x1z2 + z1x2 + w1y2 - y1w2, 
             x1w2 + w1x2 + y1z2 - z1y2).

 

OBSERVAÇÃO: Apesar da expressão aparentemente "complicada'', o produto assim definido satisfaz as propriedades de associatividade, de existência do elemento neutro, de existência do inverso e distributividade (verifique!). O elemento neutro da multiplicação é (1,0,0,0) e o inverso do quatérnion Q = (x,y,z,w) é dado por Q-1 = (x,-y,-z,-w). O que este produto não satisfaz é a propriedade de comutatividade. Basta um exemplo para nos convencermos disto; de fato (0,1,0,0)(0,0,1,0) = (0,0,0,1) enquanto (0,0,1,0)(0,1,0,0) = (0,0,0,-1).

 

Se olharmos para as propriedades que esperávamos serem satisfeitas pelo produto de quatérnions, nos convenceremos que, se temos que abrir mão de alguma daquelas propriedades, então a menos "traumática'' é justamente a comutatividade. Além disso, para efeitos de cálculo, isso não representa um grande problema desde que existam algumas regras bem definidas relacionandos os produtos Q1Q2 e Q2Q1, embora Q1Q2 seja em geral diferente de Q2Q1. Felizmente tais regras existem! Para escrevermos estas regras em uma forma conveniente, vamos introduzir a seguinte notação:

 

i = (0,1,0,0), j = (0,0,1,0), k = (0,0,0,1) . 

 

Lembrando ainda que a unidade é (1,0,0,0), podemos escrever o quatérnion Q = (x,y,z,w) na forma

 

Q = x + yi + zj + wk .

 

As regras que seguem da definição do produto são 

 

i² = j² = k² = -1 , 
ij = -ji = k , 
jk = -kj = i , 
ki = -ik = j . 

 

Não é difícil verificar explicitamente as expressões acima à partir da definição do produto. As regras acima determinam completamente o produto de quatérnions, de modo que o produto, mesmo não-comutativo, pode ser manipulado sem muita dificuldade em função destas regras bem definidas. Os quatérnions constituem-se em uma clara generalização do sistema dos números complexos. Temos agora três quantidades i, j e k que ao quadrado resultam em -1. Os números complexos podem ser identificados com os quatérnions da forma (x,y,0,0) = x + yi.

 

Voltando um pouco atrás, a questão que estavámos considerando era encontrar um sistema relacionado ao espaço tridimensional da mesma maneira que os números complexos com a geometria planar. Para encontrarmos esta relação através de quatérnions temos que separar um quatérnion em suas partes real e pura, da mesma forma que separamos um número complexo em suas partes real e imaginária. Dado um quatérnion Q = x + yi + zj + wk dizemos que Re(Q) =x é a sua parte real e Pu(Q) = yi + zj + wk é a sua parte pura. A interpretação em termos do espaço tridimensional se faz identificando a parte pura de um quatérnion com pontos deste espaço, ou seja, (y,z,w) são as coordenadas destes pontos. As quantidades i, j e k nesse caso são interpretadas como representando segmentos de reta unitários mutuamente ortogonais.

 

Da mesma maneira que operações com números complexos podem ser interpretadas em termos de operações geométricas no plano, operações com quatérnions podem ser interpretadas em termos de operações geométricas no espaço. Em particular isso ocorre com as rotações, que estudaremos exaustivamente e com detalhes. No caso de rotações no plano é fácil nos convencermos que não importa a ordem que realizamos as rotações pois o resultado é o mesmo - em outras palavras, se temos uma rotaçãoROT1 e uma rotação ROT2, então ROT1ROT2 = ROT2ROT1. Já no caso de rotações no espaço tridimensional isso não ocorre, ou seja, o resultado de duas rotações espaciais depende da ordem em que estas rotações são efetuadas, ou seja ROT1ROT2 não é igual a ROT2ROT1 para rotações espaciais (em geral). Uma vez que as operações de rotação não são comutativas, devemos esperar que os objetos algébricos associados com estas operações também não-comutem. A não-comutatividade dos quatérnions é portanto bem-vinda!