ANEL

DEFINIÇÃO: Sejam (x,y) → x + y e (x,y) → x.y Leis de Composição Internas num Conjunto X. Mais precisamente cada uma destas Leis é uma função definida no Produto Cartesiano XxX em X, isto é, para a primeira tem-se F:XxX → X, tal que F(x,y)=x + y; e para a segunda tem-se G:XxX → X, tal que G(x,y)=x . y.

 

Suponhamos que:

I)Em relação à primeira dessas leis (Adição) em X tem uma Estrutura de Grupo Comutativo, isto é

• ∀ a, b, c em X, então a + (b + c)=(a + b) + c (Propriedade Associativa da Adição);

 

• ∀ a, b, então a + b=b + a (Propriedade Comutativa da Adição);

 

• ∃ o (artigo definido “o”, pois é único) Elemento Neutro para esta lei. Será indicado pelo símbolo 0X ou apenas 0 quando não houver possibilidade de confusão;

 

• Todo elemento a ϵ X possui o Elemento Simétrico para esta lei. Ou seja: ∀ a ϵ X ⇒ ∃! (lê-se: existe um único) elemento em X, denotado por (-a) tal que a + (-a)=0.

 

 

II)A segunda dessas leis (Multiplicação) possui a Propriedade Associativa, isto é, ∀ a, b, c em X,

                                                                       então a . (b . c)=(a . b) . c;

 

 

III)A multiplicação possui a Propriedade Distributiva em relação a Operação de Adição, isto é, ∀ a, b, c em X,

                                                                       então a . (b + c)=a . b + a . c;

 

Nas condições explicitadas acima, dizemos que a Terna Ordenada (X, Adição, Multiplicação) ou, resumidamente, (X , + , .) é um ANEL.

 

 

Por abuso de linguagem é comum dizer-se apenas “X é um ANEL” para expressar a Definição acima apresentada.

 

 

 

 

 

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Duas Propriedade adicionais:

 

IV) Se para todo par a,b ϵ X, tem-se obrigatoriamente: a.b = b.a, então dizemos neste caso que a Terna Ordenada (X, Adição, Multiplicação) ou, resumidamente, (X , + , .) é um ANEL COMUTATIVO.

 

V) Se existir e se for o caso será unico o (artigo definido “o”, pois é único) Elemento Neutro para esta lei. Será indicado pelo símbolo 1X ou apenas 1 quando não houver possibilidade de confusão, tal que ∀ a ϵ X ⇒ a . 1=1 . a=a.

Dizemos neste caso que a Terna Ordenada (X, Adição, Multiplicação) ou, resumidamente, (X , + , .) é um ANEL COMUTATIVO Com UNIDADE "1".