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Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)
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MATEMÁTICA PURA
Homomorfismo e Isomorfismo
Homomorfismo entre duas Estruturas Matemática (Algébricas) é uma função que preserva estas Estruturas, isto é, função. Um Isomorfismo é um Homomorfismo Bijetor, isto é, a Função é Inversível e neste caso a Inversa também é um Homomorfismo! OBS: Diferente de Momeomorfismo que, pela definição em Topologia e/ou Espaços Métricos, a Inversa sempre é um Homeomorfismo - Função Contínua com Inversa Contínua!
Na Álgebra Abstrata (Estruturas Algébricas), um isomorfismo[1] é um homomorfismo[2] bijetivo. Duas estruturas matemáticas são ditas isomorfas se há um mapeamento bijetivo entre elas.
Essencialmente, dois objetos são isomorfos se eles são indistinguíveis dado apenas pela seleção de sua característica, e isomorfismo é o mapeamento entre objetos que mostra um relacionamento entre duas propriedades ou operações.
Na Teoria das Categorias, um isomorfismo é um morfismo f: X → Y em uma categoria para a qual existe "inversa" , com a propriedade de que ambas Identidade em X e Identidade em Y.
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![F na -1.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_ce568cf61b6441bab7b89a550291e968~mv2.png/v1/fill/w_78,h_23,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/F%20na%20-1.png)
![Índice.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_66b10ee95d694e9ea0c9b42222434132~mv2.png/v1/fill/w_88,h_79,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/%C3%8Dndice.png)
Propósito
Isomorfismos são estudados na matemática para estender conhecimentos de uns fenômenos para outros: se dois objetos são isomorfos, então qualquer propriedade que é preservada por um isomorfismo e que é verdade para um dos objetos, também é verdade para o outro objeto. Se um isomorfismo pode ser encontrado de uma parte desconhecida da matemática em alguma área bem estudada da matemática, onde muitos teoremas já foram provados e muitos métodos já estão disponíveis para encontrar respostas, então a função pode ser usada para mapear os problemas da área desconhecida para uma área onde os problemas são facilmente entendidos e trabalhar com eles.
Exemplos práticos
Os seguintes exemplos são de isomorfismos da Álgebra Linear.
-
Considere a função logaritmo: Para qualquer base b fixada, a função logaritmo logx mapeia dos números reais positivos sobre os números reais formalmente:
b
![R.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_29a1e92de37548068cd253b8a8266e16~mv2.png/v1/fill/w_20,h_18,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/R.png)
![R+.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_5272644e60bd4344bbad1a72cc055664~mv2.png/v1/fill/w_26,h_22,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/R%2B.png)
,
![d.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_40bddc1c53de401ca0bf6cd49d4ad877~mv2.png/v1/fill/w_46,h_25,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/d.png)
,
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isto é, o Máximo Divisor Comum MDC(m,n) =1.
![ccc.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_5db2894105494491864c6b55066d71c6~mv2.png/v1/fill/w_46,h_31,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/ccc.png)
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![ddddd.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_3e53c9c3dca342f18883d5cb2fec583f~mv2.png/v1/fill/w_46,h_28,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/ddddd.png)
![eeee.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_b921e7b96e104ad4955355b0f7353689~mv2.png/v1/fill/w_45,h_31,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/eeee.png)
espaços topológicos, chamada homeomorfismo.
![fff.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_5aacb775a6734a2984b282bcd08fcd07~mv2.png/v1/fill/w_46,h_25,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/fff.png)
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Referências
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Buchmann, Johannes (2004). Introduction to cryptography. [S.l.]: Springer. p. 54. ISBN 9780387207568
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Awodey, Steve (2006). «Isomorphisms». Category theory. [S.l.]: Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612
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Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. [S.l.]: American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138
Ler mais
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Mazur, Barry (12 de junho de 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)
Ligações externas
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Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Isomorphism, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
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Weisstein, Eric W. Isomorphism (em inglês). MathWorld
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