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MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)

Números Transcendentes

 

 

 

Número Transcendente:

 

Origem: Wikipédia.

Um Número Transcendente é um Número Real ou Complexo que não é raiz de nenhuma Equação Polinomial com Coeficientes Inteiros (ou Racionais, equivalentemente). Do contrário, este Número é dito Algébrico - se, e somente se, pode ser Construído com Régua e Compasso (Desenho Geométrico) Ver Teoria dos Corpos e/ou Teoria de Galois. (Ver Números Algébricos e Transcendentes - Construção com Régua e Compasso - Vídeo Aula).

 

Exemplos

  • O número π

  • O número de Champernowne 0,12345678910111213... obtido escrevendo-se a Sequência de Números Inteiros em Base 10 (dez) (teorema de Mahler, 1961)

  • Ao menos um dos dois números e+π e eπ é transcendente.

  • O Teorema de Lindemann–Weierstrass mostra que os seguintes números são transcendentes:                            dentre outros.

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Propriedades:

  • Pode-se dizer que a "maioria" dos números reais ou complexos é Transcendente, uma vez que o conjunto dos números algébricos forma um conjunto enumerável.

  • Na definição, tanto faz dizer que um número é transcendente quando não é raiz de uma equação com coeficientes racionais ou com coeficientes inteiros.

  • Importante: Assim como a noção de Número Algébrico se generaliza para "Número Algébrico sobre um Corpo", temos que um número é "Transcendente sobre um Corpo" quando ele pertence a uma Extensão (Extensão de Corpos)¹ e não é Algébrico sobre todo seu Corpo.

 

Referências:

Martin, Paulo A.: "Grupos, Corpos e Teoria de Galois". São Paulo: Livraria da Física, 2010. p. 224-225.

Conjuntos contáveis: Números naturais (    ) Números inteiros (    ) Números racionais (    ) Números algébricos (    ) Números computáveis

Números reais e: Números reais (    ) Números complexos (    ) Quaterniões (    ) Octoniões (    ) Sedeniões (    ) Números complexos hiperbólicos .

                            Números hipercomplexos

Suas extensões: Números superreais . Números irracionais . Números transcendentais . Números hiper-reais . Números surreais

Outros sistemas: Números cardinais . Números ordinais . Números p-ádicos . Números supernaturais

________________________________________

(1) Extensão de Corpos:

 

Em Álgebra, as Extensões de Corpos são o Problema Fundamental da Teoria dos Corpos. Um Corpo é um conjunto no qual as operações soma e produto estão bem definidas e satisfazem certas Propriedades. Quando se constrói uma extensão de um corpo, se busca um conjunto maior no qual as operações soma e produto se mantenham satisfazendo as mesmas Propriedades e além disso possam Resolver as Equações Polinomiais.

 

Formalmente, dado F um Corpo, dizemos que E é uma Extensão de F e denotamos E/F se F é Subcorpo de E, isto é, se F é Subconjunto de E e é Fechado em relação aos inversos e às Operações de Corpo.

 

Exemplos: se R denota o Conjunto dos Números Reais, Q o dos Racionais (A Notação "Q" vem da Construção de Q como Classes de Equivalência do Quociente QxQ/Q, onde Q={a/b, onde a e b são Números Inteiros "Z", com b não nulo. E a relação de Equivalência diz: a/b é equivalente a c/d, se e somente se, a.b = b.c) e C o dos complexos, temos que R/Q, C/Q e C/R

  A partir de 06 Out de 2020

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