Definição: Um conjunto é finito se e somente se é vazio ou é equivalente a {1,2, .. , n} para algum n ∈ N (Conjunto do números Naturais); caso contrário, é chamado infinito. Obviamente, dois conjuntos finitos serão equivalentes se, e somente se, contiverem o mesmo número de elementos. Então, para conjuntos finitos, identificam-se os conceitos "equivalência" e "mesmo número de elementos".

Exemplo 1.1: Sejam os conjuntos N={1,2,3, ... } e E={2, 4, 6, ... }. A função j : N → E definida por j (x)=2x é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja uma função Bijetora. Logo, N é equivalente a E.

 

 

a) Demontração de que a função j é Injetora: Pela definição de Injetora, se x1 ≠ x2 pertencentes a N, então obrigatoriamente deve-se ter j(x1) ≠ j(x2). Então Suponhamos por Redução ao Absurdo (Demonstração por Redução ao Absurdo!) que j leva x1 e x2 ,com x1 ≠ x2, no mesmo valor, isto é, f(x1)=f(x2). Assim, 2x1=2x2, ou seja usando a Lei do Cancelamento (Para todo Domínio de Integridade vale a lei do Cancelamento: Veja isto quando o Assunto é Matrizes) tem-se x1=x2 o que contradiz a hipótese de ser x1 ≠ x2.

 

b) Demonstração de que a função j é Sobrejetora: Pela definição de Sobrejetora, dado um elemento b ∈ E, deve existir (único, para ser Função!) a ∈ N tal que j(a)=b. Observemos que a função j leva todo e qualquer elemneto de N em um número Par (números da forma 2k, com k número Natural (N) ou Inteiro (Z). Assim, seja b ∈ E, logo b é da forma b=2k (número Par) e por coseguinte tomando k ∈ N tem-se j(k)=2k=b ∈ E.

 

 

Exemplo 1.2: A função j: (-1, 1) → R, definida por j (x)=x / (1 - |x|) é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja uma função é Bijetora.

Conjunto Finito: Identifiquemos pelo símbolo In o Conjunto (1,...,n} dos números naturais desde 1 até n Mais precisamente, dado n ∈ N, temos

                                                                          In={p ∈ N; 1 ≤ p ≤ n}.

Um Conjunto cham-se M Finito quando é Vazio (M= ∅) ou quando existe , para algum n ∈ N, uma Bijeção

                                                                          

                                                                           φ: In → M  

                                            

 

No caso de M= ∅, dizemos que que M tem zero elementos. No outro caso mais geral, dizemos que M tem n elementos.  E os seguintes fatos decorrem imediatamente desta definição:

a) cada conjunto In é finito e possui n elementos;

b) se g:X → Y é uma Bijeção, então um desses conjuntos é Finito se, e somente se, o outro é.

Intuitivamente, uma bijeção φ: In → X significa uma contagem dos elementos de X. Pondo φ(1)=x1, φ(2)=x2, ...,φ(n)=xn, temos X={x1, x2, ...,xn}. Esta é a representação Ordinária de um Conjunto Finito.

 

Teorema: Se X é um Conjunto Finito, então todo subconjunto Y ⊂ X é Finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y=X.

 

Note-se que o Conjunto W={4,7,8,9} ⊂ X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Logo, W é um Conjnto Finito. 

 

Definição: Um Conjunto é dito Infinito quando não é Finito.

 

 

Definição: Seja N o Conjundos números naturais. Um Conjunto X é dito Enumerável quando é Finito ou quando existe uma Bijeção g: N → X. No segundo caso, X é dito Infinito Enumerável e, pondo x1=g(x1), x2=g(2),...., xn=g(n),...., tem-se X={x1,x2,....,xn,....}. Cada g:N → X chama-se uma Enumeração de (dos elementos) de X.

 

Teorema: Todo Conjunto Infinito X contém um Subconjunto Infinito Enumerável. (Ver demonstração página 39 Elon lages Lima).

Corolário: Um Conjunto X é Infinito se, e somente se, existe uma Bijeção h: X → Y, de X sobre uma parte própria  Y ⊂ X.

Logo, um Conjunto é Finito se, e somente se, não admite uma Bijeção uma sua parte própria, como já mencionado anteriormente.  Obtém-se assim uma caracterização dos Conjuntos Finitos na qual não intervém o Conjunto dos Números Naturais N. OBSERVAÇÃO: Esta foi a maneira que Dedeking (Álgebra: corpo numérico; inteiros algébricos; ideal; anel; conjunto infinito; Análise: números reais; números irracionais; continuidade; limite.) - Arquivo no Formato ".PDF" - definiu Conjunto Finito.

Vajamos agora o que se pode afirmar a respeito dos Conjuntos Não-Enumeráveis. É devido a Cantor sabermos da existência de Conjuntos Não-Enumeráveis. Mais precisamente, pode ser mostrado que dado qualquer X, existe sempre um Conjunto cujo Número Cardinal ("número ou quntidade de elementos") é maior do que o de X. Exemplo de Conjunto Não-Enumerável é R o Conjunto dos Números Reais.¹ Isto significa que estamos interessados em disinguir, quanto ao "número de elementos", três tipos de Conjuntos: os Finitos, os Infinitos Enumeráveis  e os Infinitos Não-Enumeráveis. Já deixamos transparecer que a noção de Conjunto Enumerável está estreitamente ligada ao Conjunto N dos Números Naturais. E quem quizer saber mais a respeito de N terá que tomar conhecimento da Teoria dos Números Naturais a partir dos Axiomas de Piano. Segundo o apresentado em "Elon Lages Lima: Curso de Análise Volume 1 - "Um esprírito mais crítico indagável sobre a existência dos Números Reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de Corpo Ordenado Completo² (Arquivo".PDF"). Em outras palavras: partindo dos Números Naturais (digamos, apresentados através dos Axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do Conceito de Número, chegar à construção dos Números Reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é a dos Racionais para os Reais, a qual pode seguir o método dos Cortes de Dedekind ou das Sequências de Cauchy (devido a Cantor), para citar apenas dois métodos mais populares.³ Continuar a leitura na Página 48 Elon L. Lima Curso de Análise Vol. 1 (Arquivo ".PDF").

 

Observemos que o Conujunto dos Números Racionais (as Frações) Q é Enumerável. De fato, se indicarmos Z o Conjunto dos Números Inteiros, veremos que Z é Enumerável - Basta notar que Z* os Inteiros é Enumerável: tome a função h:Z → N definida por h(n) = 2n se n é Positivo e h(n) = -2n+1 se n é Negativo. É fácil mostrar que h é Bijetora e g sendo a Inversa de h é tal que g:N →Z é uma Enumeração de Z. Ora, a função f:Z x Z*→ Q, definida por f(m,n) = m/n, é uma Bijeção e segue que Q é Enumerável.