Comentários:

1) Primeiro define-se esta integral para funções mais gerais onde se exige apenas que f seja  Limitada no Compacto J. Posteriormente fortalece-se a hipótese ao considerar um certo número de funções que sejam, além disso,  Contínuas – é um Teorema que diz que se f é contínua definida num compacto (J, no caso), então f será, além de limitada, Uniformemente Contínua (neste caso por definição,    > 0 não depende de x: o valor de    depende somente de     ) e por conseguinte a existência e o valor da integral (tal como para a integral Ordinária de Riemann) independerá da Partição e dos valores de xk tomados nos subintervalos desta partição - assim, também, a existência e o valor do limite desta soma quando se toma n infinitamente grande (ou seja, para      tão pequeno quanto se queira!) independerá da Sequência de pontos deste intervalo (outra definição da integral como limite da soma...pensando-se em Sequências {f(xn)} - dado     >0, existe     >0 tal que se ........... Assim, chega-se ao seguinte resultado:

 

 

 

 

 

 

Teorema da Integrabilidade: “Se f é contínua em J e g é Monótona Crescente, então f é integrável em relação à g em J”.

 

 

2) Se a função g é dada por g(x)=x, para todo x, então

 

Ou seja, a Integral de Riemann-Stieltjes se reduz a Integral Ordinária de Riemann:

 

 

 

 

 

Note-se, ainda, que g(xk) - g(xk-1)  (com g monótona crescente e que, além do mais, vem a ser de VARIAÇÃO LIMITADA) é uma MEDIDA mais geral para o comprimento de intervalo xk - xk-1 .