Abaixo é apresentada uma animação ilustrando a convergência da Sequência de Funções                   definidas no intervalo fechado [0, 1] da reta. Esta Sequência Converge (Simplesmente) para a função definida por:

                                

 

                                                                                                                                        (1)

 

 

 

 

 

 

                                  

 

 

 

 

 

 

Este é um exemplo onde se tem uma Sequência de Funções que não Converge Uniformemente. A justificativa reside no seguinte Teorema:

 

TEOREMA: Seja fn(x) uma Seqüência de Funções Contínuas definidas em x=[0,1], a qual converge para a Função g. Se a convergência é uniforme, então g é contínua.

Em outras palavras, baseado neste teorema, a sequência do exemplo acima não pode convergir uniformemente para a função g definida em (1) já que esta função é, evidentemente, DESCONTÍNUA (seu ponto de descontinuidade é no ponto x=1 Fronteira do Conjunto X.

 

 

                                     

 

Note-se, porém, que a Sequência de Funções                 (todas funções contínuas) Converge Simplesmente para a função (também, contínua) Identicamente Nula  h(x)=0 para todo x no intervalo [0, 1). E mesmo que tenhamos restringido o domínio das funções fn ao intervalo [0, 1), a convergência não é Uniformemente. Temos aí outro exemplo em que não se dá a Convergência Uniforme, mas neste caso se deve ao fato do domínio [0, 1) não ser um conjunto compacto. (Teorema: para X subconjunto de       ser compacto é equivalente a ser Fechado e Limitado!). Mais precisamente, o Teorema de Dini diz que: 

                                                                                              

                                                                                              

                                                                                              Teorema (Dini): Seja X subconjunto compacto de R (Números Reais).

                                                                                              Se um sequência de funções contínuas fn: X --> R Converge

                                                                                              Simplesmente para uma função contínua f: X --> R,

                                                                                              então a convergência é uniforme.

 

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Pelo mesmo motivo (violação do Teorema de Dini), no intervalo [0, 1) a Sequência de Funções                       Converge Monotonamente para a Função identicamente nula h(x)=0 para para todo x em [0, 1), sem que esta Convergência seja Uniforme.