Mesmo para os casos onde parece ser impossível integrar uma função (contínua) definida em um intervalo fechado da reta, existe uma outra alternativa através de um processo manual simples que consiste em traçar (desenhar) a região R em uma folha de papel quadriculado e contar os quadrados interiores a esta região, conforme figura abaixo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OBSERVAÇÃO: Quanto menores forem as quadrículas, mais próximo estará o resultado obtido por este processo em relação ao valor real da área da região R considerada.

 

 

 

 

 

 

 

 

PLANÍMETROS e o Cálculo Aproximado de Áreas. 

 

Os resultados podem ser mais precisos, ainda, quando se emprega um método instrumental o PLANÍMETRO. Os Planímetros são instrumentos de precisão que medem a área de uma região limitada (não necessariamente convexa) por uma curva fechada C.

 

Há vários tipos de Planímetros e suas teorias correspondentes. A figura 01 a seguir mostra o PLANÍMETRO POLAR. Este instrumento possui uma barra, o braço traçador (I), em cuja extremidade está montado o pino traçador (II) que acompanha a curva C. A outra extremidade do braço traçador se movimenta em uma trajetória circular por meio de uma segunda barra, o braço polar (III) que pode girar em torno da extremidade o (pólo) e é ligado à outra extremidade do braço traçador por meio de uma articulação de pino. Uma RODA INTEGRADORA (IV), montada no braço traçador, mede a área da região R quando o pino traçador descreve uma vez a curva fechada C; A área é obtida como a diferença entre as leituras inicial e final na escala da roda integradora. A precisão pode ser melhora, estatisticamente, repetindo este procedimento (experimento, no contexto da Estatística) m vezes, somando os resultados e dividindo soma por m – média aritmética dos valores obtidos nas m repetições do experimento - vide, também, em Estatística "Lei dos Grandes Números no caso para uma Sequência de Médias!