![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_2d9c26cb51f14fbca7faa8b00d6a0df4.png/v1/fill/w_659,h_150,al_c,lg_1,q_85,enc_auto/26a617_2d9c26cb51f14fbca7faa8b00d6a0df4.png)
CADASTRE-SE
Temos Uma versão desta Revista Especificamente para SmartPhone
Mais Enxuta: Somente Vídeo Aulas e EVENTOS!
Music Player
![music-25705_960_720.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_1bdde7442dc842ae8f6610b837f5c5e6~mv2.png/v1/fill/w_25,h_29,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,enc_auto/music-25705_960_720.png)
![music-25705_960_720.png](https://static.wixstatic.com/media/26a617_1bdde7442dc842ae8f6610b837f5c5e6~mv2.png/v1/fill/w_24,h_29,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,enc_auto/music-25705_960_720.png)
l
![GIF ANIMADO REVISTA ENSSINO&INFORMAÇÃO - VÍDEO.gif](https://static.wixstatic.com/media/26a617_5f620154b3d548e1b2d62f829353a778~mv2.gif)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_834a6ce17bab58f89705ea9fec01edd1.jpg/v1/fill/w_358,h_108,al_c,lg_1,q_80,enc_auto/26a617_834a6ce17bab58f89705ea9fec01edd1.jpg)
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
MATEMÁTICA PURA
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_e377724f92d4452d8da35a9d529cfd47.gif)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_75610138c51fd1b0fb80b5f98f05ac99.jpg/v1/fill/w_163,h_35,al_c,q_80,usm_0.66_1.00_0.01,blur_3,enc_auto/26a617_75610138c51fd1b0fb80b5f98f05ac99.jpg)
Parte 01
(Integrais de Linha e de Superfície - Teorema de Green)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_c0c2b70844288a2b45a47666ce43013f.gif)
Seja R uma região limitada e fechada no plano xy cuja fronteira consiste de um número finito de curvas suaves, conforme figura acima. Sejam f(x,y) e g(x,y) funções contínuas que possuem derivadas parciais contínuas em R. Então,
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_6d6398a477922529ef5304e91c1009a6.gif)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_968d7b0df49332309c2d977b301b10ff.gif)
OBSERVAÇÕES:
- O teorema é enunciado para este tipo mais geral de região R, onde a fronteira da região R é constituída, por exemplo, de duas curvas suaves C1 e C2, conforme figura acima. Note que a região R não precisa ser convexa e pode ser não simplesmente conexa.
- Porém, para demonstração do teorema são considerados casos particulares de regiões mais simples. Mais precisamente, a região R pode ser subdividida em um número finito de regiões mais simples R1, R2, R3 e R4, conforme a figura abaixo, e o teorema é aplicado a cada sub-região, adicionam-se, em seguida, os resultados.
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_67ccfcf8aadd4a8454b4cc72ac10c45f.gif)
Demonstremos o Teorema de Green aplicado a uma região mais simples a qual supomos poder ser representada sob ambas as formas:
conforme figura abaixo
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_187504d437541dc32ac25c9f69fb52ca.png/v1/fill/w_92,h_18,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_187504d437541dc32ac25c9f69fb52ca.png)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_8a6d1f5a406bad7df7a5e2d8624abc32.gif)
Figura: Representação (1)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_3db97c39ae7875da23cc018176b9b0c4.gif)
Figura: Representação (2)
Consideremos o caso (1) onde y=u(x) e y=v(x) representam o contorno de R. Então,
(A)
Calculando a integral interna:
(B)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_c5babc38e4f797983911637176ef62e2.gif)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_3065fe1839ee5a523835c09c81fb02e9.gif)
OBSERVAÇÕES: Até aqui, mostrou-se parte do que é visto no Cálculo de uma Integral Dupla [primeiro membro de (A)], onde os limites da região R, para o caso (1) são duas curvas contínuas y=u(x) e y=v(x), interceptadas, no máximo em dois pontos, por uma reta paralela ao eixo dos Y - para respeitar o fato de que o conjunto dos pontos da forma (x,u(x)) e/ou (x,v(x)) representa o gráfico de uma função (assim, estas sub-regiões devem ser CONVEXAS), sendo x=a e x=b os valores extremos de x na região R. Comentário análogo vale para o caso (2)!
Substituindo em (A) vem que:
(C)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_f78e371eb4bae14ef5739983e375ebe3.gif)
Como y=u(x) representa a curva orientada C*, e y=v(x) representa C**, as integrais no último membro podem ser escritas como integrais de linha sobre C* e C** e, portanto,
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_934dfb2c06ab7ef0d2cffe0db2edb85a.gif)
Demonstração análoga é obtida considerando o caso (2) onde x=p(y) e x=q(y) representam o contorno de R! E portanto, o teorema fica demonstrado.
OBSERVAÇÕES:
Se alguns arcos de C são segmentos de reta, paralelos ao eixo dos Y (tais como em C^ e C^^, figura abaixo), o resultado é o mesmo que o anteriormente, pois as integrais sobre estes arcos são nulas. Portanto, o teorema fica demonstrado.
Figura: Partes C^ e C^^ da curva C são paralelas ao eixo Y.
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_01651be1d0c6e81ceff4abad34ed6ee5.gif)
Comentário: O sentido de percurso na fronteira C da região R é o anti-horário, mesma exigência no cálculo de área aproximada utilizando o método instrumental dos planímetros.
A partir de 08 Out de 2020
Você é o Visitante de Número