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MATEMÁTICA PURA
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Veja como proceder para encontrar a inversa de uma função a partir do seu gráfico.
1o) Tudo o que temos a fazer é nos basearmos na definição de função inversa. Por definição, para que f seja a inversa (é provado que a inversa, quando existe, é única) da função g deve-se ter: f(g(x))=x e g(f(x)=x, para todo x. Isto é, f deve ser inversa à esquerda e à direita de g, conforme Figura 01 abaixo. Nesta figura, iA e iB denotam, respectivamente, a função identidade em A e a função identidade em B.
Figura 01: Inversa à esquerda e à direita
2o) Quando os conjuntos A e B são subconjuntos de R (números reais), esta inversa pode ser encontrada com uma certa facilidade tomando-se o gráfico da função (dada) e o gráfico da função identidade, conforme mostra a Figura 02 abaixo. Assim, f e g são inversa uma da outra se, e somente se, seus gráficos são simétricos um do outro em relação ao gráfico da função identidade.
OBSERVAÇÃO: A simetria a que se refere é mostrada na Figura 03 abaixo onde, por exemplo, P2 e P(barra)2 são equidistantes do gráfico da função identidade i(x)=x (reta em vermelho).
3o) Portanto, dada, por exemplo, a função f, para chegarmos ao gráfico de g (inversa de f) devemos traçar o maior número de retas perpendiculares ao gráfico da função identidade i todas interceptando o gráfico de f nos pontos Pi. Depois, é só marcarmos os pontos P(barra)i eqüidistantes dos Pi. O gráfico da função g será constituído dos pontos P(barra)i.
Observação: os passos contidos no item (3) constituem os passos de um algoritmo para quem deseja implementar um PROCEDIMENTO computacional para determinar o gráfico da inversa da função f dada.
Observação: Mais importante de tudo é que deve ser respeitada a condição de que as funções f e g envolvidas devem ser bijetoras para que a inversa exista!
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