Cálculo Numérico: Algumas Observações Gerais

 

Esta página de nossa revista Ensino&Informação é dedicada a poucas e simples, mas importantes observações gerais sobre Cálculo Numérico.

 

É claro que a etapa final da Matemática Aplicada à Engenharia consiste na manipulação de dados numéricos, de sorte que o estudante de Engenharia deve acrescer a sua bagagem matemática um conhecimento preciso de alguns métodos numéricos fundamentais.

 

Vários exemplos e problemas no texto ajudarão o estudante a aprender como dispor os cálculos de maneira adequada. O Cálculo Numérico é, entretanto, uma arte que exige experiência; ela não pode ser aprendida unicamente através dos livros. Há necessidade de exercício prático, exatamente como na natação, na direção de automóveis ou aprendizado de piano. O estudante deve, portanto, executar não só os exemplos e problemas em um livro específico, mas também imaginar exemplos e efetuar os cálculos correspondentes. O trabalho ativo é mais importante em Análise Numérica que em muitos outros ramos da Matemática. Matemáticos famosos, como Gauss, empregavam uma parte considerável de seu tempo efetuando cálculo numérico, e estudante de Engenharia fará bem em adotar uma atitude semelhante.

 

Em muitos casos as respostas formalmente completas de um problema, obtidas por considerações teóricas, podem ser quase utilidade para finalidades numéricas. Por exemplo, no caso no Sistema de Equações Lineares, obtemos a solução sob a forma de quociente de Determinantes. Se, entretanto, o número de equações e incógnitas (variáveis) é significativamente grande, o cálculo direto da solução sob este aspecto da quantidade de variáveis não constitui certamente uma resposta prática no problema de determinar os valores numéricos das incógnitas – mais precisamente falando, Determinante tem sua importância Teórica como uma Função Multilinear, mas na prática o Algoritmo utilizado na prática com Ordem de Complexidade aceitável é o Método de Gauss-Jordan (ou Método de Eliminação, ou Método de Escalonamento). Em outros casos, a teoria pode fornecer a solução de um problema sob a forma de uma Integral que não pode ser calculada por métodos ou técnicas usuais do Cálculo Diferencial e Integral. Há então a necessidade de um método aproximado para obter valores numéricos a partir daquela solução. Há, além disso, muitos problemas práticos que não podem ser resolvidos por Métodos Exatos (Analíticos) e, em tais casos, aliás muito frequentes, temos que procurar um método de aproximação adequado que forneça os valores numéricos da solução do problema.

 

Como empregamos um número finito de Dígitos e realizamos um número finito de estágios (chamemos de Iterações) nos cálculos, os métodos da Analise Numérica são Processos (ou Procedimentos) finitos; um resultado numérico é um valor aproximado do resultado exato (desconhecido), exceto nos raros casos em que a resposta exata é um Número Racional suficientemente simples. A diferença

 

                                                                       E = a* - a,

 

Entre o valor exato “a” e o valor aproximado a* é chamado de Erro Absoluto de a*, e o quociente

 

                                                                Er = (a* -a)/a,          (a ≠0)

 

É chamado de Erro relativo de a*.

 

Um erro pode ser o resultado de um processo de Arredondamento (Erro de Arredondamento), isto é, do fato de mantermos unicamente os Algarismos decimais mais Significativos de um número, rejeitamos os menos significativos além de um certo ponto. Este erro é chamado de Erro de Arredondamento. Estes erros muitas vezes podem ser eliminados mantendo um, dois, ou mesmo mais algarismos, que são conhecidos de Algarismos de Segurança (guarding figures). Estes erros estão associados de imediato à Precisão desejada a qual é fixada a prior tanto quanto na definição das Regras ou Critério de Parada do Algoritmo (o Processo de Cálculo).

 

Outro Erro pode resultar do fato de uma ou várias Fórmulas (ou Funções) empregadas no Cálculo Numérico serem obtidas substituindo um Série Infinita por uma de suas Somas Parciais (alguns de seus primeiros Termos). Tal Erro é chamado de Erro de Truncamento (Trunation Error). Ele ocorre, por exemplo, em Conexão com a Derivação ou Integração Numérica e, também, por exemplo, uma Série de Taylor para representar um certa Função!

 

Além disso, um cálculo pode conter enganos devidos à falibilidade do calculador humano ou equipamento eletrônico ou mecânico empregado. Enquanto os erros não podem ser evitados, os enganos, em princípio, são evitáveis com o cuidado, atenção e muita prática adquirida. A reverificação dos cálculos intermediários e dos resultados numéricos é muito importante e todo método numérico deve incluir procedimentos de verificação para confirmar que os resultados não contêm enganos. Esta recomendação certamente se aplica aos resultados finais, mas nos cálculos longos é também aconselhável verificar os resultados intermediários.

 

É claro que qualquer verificação deve ser arranjada em forma tabular (Tabela) sistemática e deve conter todos os resultados intermediários diretamente na folha de trabalho. Isto ajudará a evitar enganos e a corrigi-los quando forem feitos. O trabalho numérico não deve ser realizado em restos de papel. Os números devem ser escritos de maneira clara e legível em uma página inteira.

 

A última observação que faremos diz respeito aos métodos de aproximação. Se um problema não pode ser resolvido de uma maneira exata de sorte que somos forçados ao emprego de método aproximado, a questão fundamental que se apresenta consiste em saber o máximo que o resultado se afasta do resultado aproximado (desconhecido). Para isso há necessidade de estimar o erro envolvido nos métodos aproximados. Em muitos casos são conhecidas fórmulas para estimar o erro possível máximo, e elas devem ser empregadas sempre que usamos o método aproximado. Esta é a única maneira de obter uma ideia clara da qualidade da aproximação e de eliminar uma fonte de enganos grosseiros que de outro modo, na realidade, ocorrem na parte matemática do trabalho da Engenharia. A determinação de métodos novos e mais eficientes de estimar os erros constitui um dos interesses e importantes problemas da Matemática Aplicada moderna. Os mais recentes progressos nesta direção são ainda desde década influenciados consideravelmente pelo emprego de sempre crescente dos calculadores eletrônicos – calculadoras eletrônicas e computadores pessoais com cada vez mais espaço de armazenamento de dados e cada vez mais processadores com muitíssima velocidade e consequente rapidez nos cálculos. Diga-se de passagem, que os métodos que já não são mais antigos porque foram reformulados de maneira adequada para aproveitar o suporte ao ser humano que são os Computadores verdadeiras Estações de Trabalho hoje ao alcance de todo Pesquisador ou Engenheiro – também, Softwares (exemplo: Planilhas de Cálculos com a possibilidade de se incluir Macros e interfaces amigáveis com monitores maiores e alta resolução para a confecção de Gráficos de Funções, é um exemplo!