Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias

MATEMÁTICA PURA

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1) Equações Diferenciais: Introdução /

1a) Equações Diferenciais e Campos Direcionais ou de Inclinação / Introdução / Exemplo ilustrativo usando "JavaSketchpad" para Campos Direcionais ou de Inclinação /

Equações Diferenciais Ordinárias

Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

Logo, disponibilizaremos o Programa Executável (um arquivo de extensão “.exe”) acessado no Botão-Menu denominado "P_executáveis”: Programa Executável! Este Programa possibilitará a obtenção da Solução de uma dada Equação Diferencial Ordinária ou de um dado Sistemas de Equações Diferenciais Ordinías.

Também, disponibilizaremos Programas Executáveis em Linguagem JavaSketchpad onde poderemos, interativamente, visualizar graficamente o efeito ao alteramos os valores de coeficientes de uma Equação Diferencial Ordinária ou de um Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias.

derivadas

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

[1]

Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.

Exemplos Práticos

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial

Equações diferenciais específicas

Equações diferenciais lineares

Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como

Outros casos

Solução de uma Equação Diferencial Ordinária

Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular. [2]

Exemplo

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n=ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas como

Solução particular - obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

Métodos para resolução de EDO

A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo. Os métodos mais conhecidos são:

Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícita. Duas formas adicionais são aplicadas:

Integração Numérica
Estudos qualitativos;

Referências

E. Boyce, William; Diprima, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9
Equações Diferenciais Ordinárias (PDF).