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Disciplina: Topologia (Espaços Métricos)
MATEMÁTICA PURA
PROGRAMA
OBSERVAÇÃO: Optamos por escolher a ementa da disciplina “ESPAÇOS MÉTRICOS” retirada do livro de mesmo nome e de autoria de ELON LAGES LIMA professor do IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Rio de Janeiro-RJ). Este livro é adotado em todas as Universidades Brasileiras para o Curso de TOPOLOGIA – ESPAÇOS MÉTRICOS (Área da Matemática Pura). Este programa nos guiará para a criação de tópicos a serem abordados dentro desta Área! Este programa nos propiciará, também, disponibilizar a SOLUÇÃO de muitos Exercícios propostos pelo autor.
CONTEÚDO
PREFÁCIO ........................................................................................... VII
CAPÍTULO 1 ESPAÇOS MÉTRICOS ....................................................... 1
§1 Definição e exemplos de espaços métricos ............................................ 1
§2 Bolas e esferas .................................................................................. 8
§3 Conjuntos Limitados ........................................................................... 12
§4 Distância de um ponto a um conjunto: distância entre dois conjuntos ....... 16
§5 Isometrias ........................................................................................ 19
§6 Pseudo-métricas ................................................................................ 21
Exercícios ............................................................................................ 22
CAPÍTULO 2 FUNÇÕES CONTÍNUAS ..................................................... 29
§1 Definição e exemplos .......................................................................... 29
§2 Propriedades elementares da aplicações contínuas .................................. 33
§3 Homeomorfismos ............................................................................... 37
§4 Métricas equivalentes ......................................................................... 42
§5 Transformações Lineares e multilineares ............................................... 49
Exercícios ............................................................................................ 54
CAPÍTULO 3 LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA ................................ 62
§1 Conjuntos abertos .............................................................................. 62
§2 Relação entre conjuntos abertos e continuidade ..................................... 68
§3 Espaços topológicos ............................................................................ 71
§4 Conjuntos Fechados ............................................................................ 73
Exercícios ............................................................................................. 80
CAPÍTULO 4 CONJUNTOS CONEXOS ...................................................... 90
§1 Definições e exemplos ........................................................................ 90
§2 Propriedades gerais dos conjuntos conexos ............................................ 92
§3 Conexidade por caminhos .................................................................... 100
§4 Componentes conexas ........................................................................ 105
§5 A conexidade como invariante topológico .............................................. 107
Exercícios ............................................................................................ 109
CAPÍTULO 5 LIMITES ........................................................................... 115
§1 Limites de sequências ......................................................................... 115
§2 Sequência de números reais ................................................................ 121
§3 Séries ............................................................................................... 123
§4 Convergência e topologia .................................................................... 125
§5 Sequênecias de funções ...................................................................... 128
§6 produtos cartesianos infinitos ............................................................... 132
§7 Limites de funções .............................................................................. 138
Exercícios ............................................................................................. 140
CAPÍTULO 6 CONTINUIDADE UNIFORME ............................................... 148
§1 Observações e exemplos ...................................................................... 149
Exercícios ............................................................................................... 158
CAPÍTULO 7 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS ...................................... 161
§1 Sequência de Cauchy ........................................................................... 161
§2 Espaços métricos completos .................................................................. 165
§3 Espaços de Banach e espaços de Hilbert .................................................. 169
§4 Extensão de aplicações contínuas ........................................................... 175
§5 Completamento de um espaço métrico .................................................... 180
§6 Espaços métricos topologicamente completos ........................................... 183
§7 O teorema de Baire ............................................................................... 186
§8 O método das aproximações sucessivas ................................................... 196
Exercícios ............................................................................................... 202
CAPÍTULO 8 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPACTOS ....................................... 207
§1 Compacidade na reta ............................................................................. 209
§2 Espaços métricos compactos ................................................................... 209
§3 Produtos de dois fatores, um dos quais é compacto .................................... 216
§4 Uma base para C (K;M); O conjunto das aplicações contínuas do espaço
métrico M no espaço métrico N ............................................................... 219
§5 Caracterizações de espaços compactos ..................................................... 221
§6 Produtos cartesianos de espaços compactos .............................................. 226
§7 Continuidade uniforme ........................................................................... 233
§8 Espaços localmente compactos ................................................................ 235
§9 Espaços vetoriais normados de dimensão finita ......................................... 238
§10 Equicontinuidade ................................................................................. 240
§11 Os teoremas de aproximação de Weierstrass e Stone ............................... 248
Exercícios ................................................................................................ 264
CAPÍTULO 9 ESPAÇOS SEPARÁVEIS ......................................................... 274
§1 Propriedades gerais ................................................................................ 274
§2 Espaços localmente compactos separáveis ................................................. 278
§3 O cubo de Hilbert com espaço separável universal ...................................... 280
§4 O teorema de Hahn-Mazurkiewicz ............................................................. 281
§5 Paracompacidade .................................................................................... 284
Exercícios ................................................................................................. 290
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................... 293
ÍNDICE DE NOTAÇÕES .............................................................................. 295
ÍNDICE ALFABÉTICO ................................................................................. 296
PREFÁCIO
Este livro foi escrito para servir de texto a um curso sobre Espaços Métricos, como uma introdução à Topologia.Tal curso não deve ser lecionado antes do último ou penúltimo ano de graduação. De fato, os alunos tirarão maior proveito dos assuntos aqui abordados se já olharem para épsilons e deltas com a familiaridade que se adquire depois de um ou dois semestres de Análise.
Estritamente falando, o único pré-requisito formal para a leitura deste livro é a linguagem (e a notação) de Conjuntos. Mas, se bem que nenhum resultado específico de Análise seja essencial para o entendimento da matéria aqui tratada, uma experiência anterior com os métodos de demonstração daquela disciplina facilitará bastante o acompanhamento da exposição. Além disso, certo conhecimento de Análise ajudará o leitor a apreciar o significado das aplicações da teoria dos Espaços Métricos, tanto nos exemplos que apresentamos como nos que encontrará depois.
Existe uma regra segundo a qual todo autor que reescreve um livro, necessariamente o torna pior. Se isto for verdade, sou duas vezes culpado do mesmo crime.
Com efeito, o que originou o presente trabalho foram umas notas mimeografadas que escrevi quando ainda era aluno da faculdade, e que gozaram de alguma popularidade entre os iniciantes na Topologia há alguns anos. Elas foram radicalmente refeitas para serem texto de curso no 10o Colóquio Brasileiro de Matemática. Além de modernizar e ampliar a versão original procurei apresentar algumas aplicações, como o Teorema Fundamental da Álgebra, a existência de funções contínuas sem derivada em nenhum ponto, o Teorema de Picard sobre existência e unicidade de solução para equações diferenciais ordinárias, o Teorema de Montel sobre famílias normais de funções analíticas, a curva de Peano, o Teorema de Stone-Weierstrass, etc. Espero que esses exemplos dêem uma pequena idéia da força e da versatilidade das teorias aqui expostas. Ao texto do Colóquio acrescentei cerca de 400 exercícios, o §11 do Capítulo 8 e um capítulo sobre espaços separáveis. Todo o esforço foi feito para tornar este livro uma exceção à regra acima citada.
Organizar a lista de exercícios propostos neste livro foi talvez a parte mais divertida da tarefa de escrevê-lo. Espero que uma parcela do fascínio que senti ao selecionar, descobrir, formular e resolver esses problemas se transmita ao leitor. Não se pode esperar aprender Matemática contemplativamente. Apelo, portanto, ao leitor para que tente resolver os exercícios que lhe pareçam mais atraentes e/ou desafiadores. Não os queira resolver um por um, nem os ataque necessariamente na sequencia em que são apresentados. Isto poderia consumir muito tempo. Mas procure ler o enunciado de cada um. E boa sorte na viagem que ora inicia.
Ao finalizar, cumpro o agradável dever de agradecer a João Beal Vargas e Oclide Dotto por terem apontado várias correções no texto mimeografado.
Rio de Janeiro, 10 de setembro de 1976.
Elon Lages Lima
A partir de 29 Set de 2020
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