Estatística e Probabilidade Curso Completo (Apostila) - Distribuição de Frequência

ESTATÍSTICA

Disciplina: Probabilidade e Estatística

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

CAPÍTULO 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS OU TABELA DE FREQUÊNCIAS

Distribuição de Frequências ou Tabela de frequências

2.1 - INTRODUÇÃO

Uma Distribuição de Freqüência, também denominada de Tabela de Freqüências, é aquela Série Estatística em que a ÉPOCA, a ESPÉCIE DO FATO e o LOCAL permanecem fixos, mas a ESPÉCIE DO FATO é apresentada através de gradações em que é capaz de subdividir-se.

Notação a ser utilizada

a) Notação por índice

xi : Lê-se “x índice i”, representa qualquer um dos “n” valores x1, x2, . . . , xn assumidos pela variável “X”. A letra “i” (índice) representa qualquer número de 1 até n. Além da letra “i”, pode utilizar-se qualquer outra letra: j, k, . . .

b) Notação de somatório

∑ : Letra grega “SIGMA” maiúscula e indica SOMA.

ou simplesmente ∑xi quando "i" varia de 1 até n.

2.2 - Conceitos Básicos para elaborar uma Tabela de Freqüências

a) Dados brutos: são os dados que ainda não foram ordenados numericamente, resultantes da Coleta.

b) Rol: é o arranjo dos dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente de grandeza.

c) Amplitude Total (AT): é a diferença entre o maior (X) e o menor (x) valor do rol, ou seja, AT=X-x.

d) Classes ou categorias: é a forma em que se distribuem os dados brutos.

2.3 - Regras Gerais para Elaborar uma Tabela de Freqüências

2.3.1 - Determinar “X” e “x” das observações. Calcular a “AT”.

2.3.2 - Dividir a “AT” em um conveniente “número de classes “k”.

Em alguns casos, o número de classes já é fixado. Do contrário, utilizar a TABELA 1 ou a Fórmula de STURGES.

FÓRMULA DE STURGES

k = 1 + 3,322 . log₁₀ n

2.3.3 - Tendo o número de classes (k), calcular a amplitude de cada classe “c” através da expressão:

Assim, é recomendável utilizar um valor de “k” divisor de “AT”.

2.3.4 - Com o valor de “c” e de “k”: determinar o número de observações que caem dentro de cada classe. Estas são obtidas através de um MAPA DE APURAÇÃO ou TABULAÇÃO.

A amplitude de classe pode ser um pouco maior (ARREDONDAMENTO) que o obtido através do processo anterior, desde que as três regras básicas a seguir sejam observadas:

a) as classes devem ser todas da mesma amplitude.

b) a primeira classe deve conter o menor valor observado, assim como a última classe deverá conter o maior valor observado.

c) nenhuma observação pode estar em mais de uma classe.

2.4 - CARACTERÍSTICAS GERAIS DE UMA TABELA DE FREQÜÊNCIAS

a) | = [ ) : indica que o intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita,

ou seja, inclui o valor à esquerda e exclui o valor à direita.

b) | = ( ] : indica que o intervalo é aberto à esquerda e fechado à direita,

ou seja, exclui o valor à esquerda e inclui o valor à direita.

c) Tabela de Distribuição de Freqüências genérica

OBS.: Em geral, quando o último valor coincide com o Limite Superior da última classe, então o intervalo da classe é fechado nos extremos, ou seja, LI | | LS.

CONCEITOS:

1) Limites de Classes: são os valores extremos de uma classe. Assim, na Tabela de

Freqüências acima temos o Limite Inferior (LI_i) e o Limite Superior (LS_i) de

cada classe.

2) Freqüência absoluta (f_i): é o número de vezes que uma OBSERVAÇÃO se repete ou

se verifica. Ela é obtida através da APURAÇÃO dos dados.

3) Freqüência total: é a soma de todas as freqüências, ou seja, o total de OBSERVAÇÃO.

2.5 - CÁLCULOS GERAIS DE UMA TABELA DE FREQUÊNCIAS

CONCEITOS:

a) Frequência acumulada f(a_i) : de uma classe, é a soma da frequência da classe com a frequência das classes anteriores.

fa_i = f_i + ∑f_i-1

b) Frequência relativa (fr_i): de uma classe, é a relação entre a frequência absoluta daquela classe e a freqüência total, ou seja,

fr + f_i/n ; i=1,2, . . ., k

c) Frequência relativa acumulada (fra): de uma classe, é a relação entre a frequência acumulada daquela classe e a frequência total, ou seja,

fra = fa/n ; i=1,2, . . ., k

d) Ponto Médio de Classe (x_i): é o valor obtido adicionando-se ao Limite Inferior da Classe, a metade da Amplitude de classe, ou seja,

X_i= LI_i + c/2

Pode também ser obtido através de

OBS.: “fr” e “fra” podem ser expressos em termos de %, para tal devem ser multiplicados por 100.

Assim, fri % = fri x 100

fra_i % = frai x 100.

2.6 - REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE UMA TABELA DE FREQUÊNCIAS

2.6.1 - Histograma

É um diagrama de representação gráfica de uma Tabela de Frequências em que as frequências são representadas pelas áreas de retângulos contíguos, com as bases colineares e proporcionais aos intervalos de classe. Em resumo, consiste em um conjunto de retângulos que tem:

a) As bases sobre um eixo horizontal (eixo dos X) com centro no Ponto Médio de classes (X_i) e as larguras das colunas iguais à Amplitude ou

intervalo de classe (c).

b) As áreas de cada retângulo, proporcionais às frequências de classe.

As frequências de classe representadas na ordenada (eixo dos Y).

Ressaltando, pode-se dizer que:

1) A área de cada retângulo mede a frequência de ocorrência da variável no intervalo que lhe serve de base.

2) A área do Histograma é igual ou proporcional à soma das frequências.

OBSERVAÇÃO: As classes não precisam ter obrigatoriamente o mesmo tamanho (ou amplitude “c”). Porém, a construção de histogramas para dados dispostos em uma Tabela de Distribuição de Frequência, com intervalos de classe desiguais, exige o cálculo de uma medida denominada DENSIDADE DE CLASSE definida como o quociente entre a freqüência relativa e o intervalo de classe, isto é:

Nos casos em que os intervalos de classe são desiguais, o histograma é constituído por barras retangulares, que têm base dada pelo intervalo de classe e altura dada pela respectiva densidade.

2.6.2 - Polígono de Freqüências

É um gráfico de linha no qual as freqüências são localizadas sobre perpendiculares levantadas nos Pontos Médios de Classes (X_i), e obtém-se ligando estes no Histogramas, ou diretamente sem o seu auxílio.

OBS.: Para que “a soma das áreas dos retângulos do Histograma seja igual à área total limitada pelo Polígono de Frequência, acrescentam-se segmentos à esquerda e à direita das classes extremas.

2.6.3 - Curva de Freqüências

É obtida “polindo ou tornando mais suave” o Polígono de Frequências.

2.6.4 - Diagrama de Freqüência Acumulada ou OGIVA DE GALTON

O conceito é análogo ao do Polígono de Frequência, com a única diferença que aqui se utilizam as Frequências Acumuladas.

Traça-se este tipo de gráfico se está interessado no estudo de um problema de frequência com que uma variável assume valores “menores ou iguais” ou “maiores ou iguais” ou “iguais” a um valor fixado, do que na frequência em que ela assume valores individuais. Para isso, nos valemos da Frequência Acumulada (fa_i) e pode-se representar seu gráfico correspondente, denominado de OGIVA DE GALTON.

No caso de se estudar um problema de frequência com que uma variável assume valores menores (ou, menores ou iguais) a um valor fixado, utilizam-se as frequências acumuladas.

Critério para troçar a OGIVA DE GALTON

1) Se a variável aleatória é discreta (VAD), ligam-se os Pontos Médios das bases superiores dos retângulos e neste caso não existem as classes, pois os valores da variável estão concentrados em um ponto (Ponto Médio de Classe).

Exemplo: Lançamento de 4 moedas 50 vezes:

X= Ocorrência da face CARA

OBS.: Quando a espécie do fato (ou seja, a variável) em estudo for representada por uma variável aleatória discreta e as observações forem agrupadas numa Tabela de Frequências, o critério para a Ogiva de Galton será o da variável aleatória contínua, já que as observações estão sendo tratadas como tal.

2) Se a variável aleatória é contínua (VAC), tomar cuidado co caso de “Freqüência Acumulada abaixo de”, de ligar os pontos extremos da direita das bases superiores dos retângulos e não dos Pontos Médios. OBS.: Em alguns casos, a OGIVA DE GALTON é o gráfico que proporciona melhores meios de comparações rápidas entre duas ou mais distribuições, para isto são traçadas OGIVAS SUPERPOSTAS.

Exemplo Resolvido:

1) Extraídas 50 fichas, ao acaso, dentre as fichas dos operários de uma fábrica fictícia Cia. Milsa (Ver: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: TIPOS OU CLASSIFICAÇÃO), obteve-se a seguinte relação de salário mensal, em Reais:

Construa a Tabela de Freqüências (utilize MAPA DE APURAÇÃO), começando com o menor valor.
Calcular as frequências: acumuladas, relativa acumulada e percentuais.
Construa o Histograma utilizando a frequência relativa percentual (%).
Trace o polígono de freqüência percentual (%).
Trace a OGIVA DE GALTON, ou seja, o gráfico das frequências acumuladas percentuais (%).