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ESTATÍSTICA
Disciplina: Estatística e Probabilidade
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Curso Completo (Apostila)
Professor: Altamir A. R. Araldi
Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC
CAPÍTULO 5 - ASSIMETRIA E CURTOSE
I - ASSIMETRIA E CURTOSE
5.1 – ASSIMETRIA
5.1.1 - INTRODUÇÃO
Nesta unidade, determinar-se-á a grandeza e o Sinal de Assimetria de uma Distribuição ou de uma Curva através:
a) da relação entre as Medidas de Tendência Central e o Desvio-Padrão;
b) da relação entre os Quartis e a Mediana.
5.1.2 – DEFINIÇÃO
Uma Distribuição ou uma curva é simétrica quando existe uma exata repartição de valores em torno do ponto central, ou seja, a média, a mediana e a moda coincidem. Os valores se agrupam mais acima ou mais abaixo do ponto central, e este “desvio” (ou viés) da simetria denomina-se assimetria.
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Figura 1: Curva Simétrica
5.1.3 – COFICENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON
5.1.3.1 – PARTE TEÓRICA:
a) Diz-se que a assimetria é positiva quando predominam os valores mais altos das OBSERVAÇÕES, isto é, a Distribuição ou Curva de Frequência tem uma “cauda” mais longa à direita da ordenada (frequência) máxima do que à esquerda.
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_5afbfe493c86483e9c36602348349a6b.png/v1/fill/w_93,h_40,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_5afbfe493c86483e9c36602348349a6b.png)
Figura 2: Curva Assimétrica (Positiva)
b) Diz-se que a assimetria é negativa quando predominam os valores baixos das OBSERVAÇÕES, isto é, a Curva de Frequência tem uma “cauda” mais longa à esquerda da ordenada (frequência) máxima do que à direita.
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_3501f757d05143a4979abd82d1600768.png/v1/fill/w_93,h_40,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_3501f757d05143a4979abd82d1600768.png)
Figura 3: Curva Assimétrica (Negativa)
5.1.3.2 – PARTE ANALÍTICA:
Para Distribuições Assimétricas, a Média ( ) tende a situar-se do mesmo lado da “cauda”. Uma Medida de Assimetria é proporcionada pela diferença entre a Média ( ) e a Moda (Mo), podendo ser tomada sem dimensão (adimensional) mediante a divisão por uma Medida de Dispersão (Desvio Padrão).
Assim, temos:
a) 1o Coeficiente de Assimetria de PEARSON:
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_8ee6576b89c84ff3b27310529e9b1871.png/v1/fill/w_18,h_18,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/26a617_8ee6576b89c84ff3b27310529e9b1871.png)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_8ee6576b89c84ff3b27310529e9b1871.png/v1/fill/w_18,h_18,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/26a617_8ee6576b89c84ff3b27310529e9b1871.png)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_ee3bf50ad9cc435b9dce05250372b845.png/v1/fill/w_109,h_48,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/26a617_ee3bf50ad9cc435b9dce05250372b845.png)
(1)
em que, para uma Distribuição Simétrica
b) 2o – Coeficiente de Assimetria de PEARSON:
É obtido substituindo o valor da Moda de PEARSON na expressão anterior (1) para evitar o emprego da mesma.
Assim,
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_e0911ab895e84845938f020046e2506b.png/v1/fill/w_54,h_6,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_e0911ab895e84845938f020046e2506b.png)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_a917720abe634f23955119c47faafd1e.png/v1/fill/w_60,h_12,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_a917720abe634f23955119c47faafd1e.png)
(2)
Então,
Quando os valores de “A” obtidos através de (1) e (3) variam entre ±1, então se diz que a assimetria é fraca e o fenômeno em estudo é considerado não muito assimétrico, podendo ser aplicado, neste caso, o Modelo Estatístico da Curva Normal.
OSERVAÇÃO: Se os valores de “A” ultrapassam os limites de ±1, isto é, A ∈ [-1,1] então a Distribuição terá outro tratamento
(3)
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_47b13650c75e486495877282817cbd7b.png/v1/fill/w_103,h_44,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/26a617_47b13650c75e486495877282817cbd7b.png)
5.1.4 - OUTRA MEDIDA DE ASSIMETRIA: C.Q.A.
Coeficiente Quartílico de Assimetria (C.Q.A.) ou Fórmula de Bowley. Nas Distribuições Simétricas, Desvio Quartílico Superior (Q3 – Md) é igual ao Desvio Quartílico Inferior (Md – Q1), pois estão equidistantes da Mediana (Md). Assim, relacionando-se o Desvio Quartílico Superior com o Inferior, obtém-se uma Medida de Assimetria denominada de Coeficiente Quartílico de Assimetria (C. Q. A.) definido por:
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_d228a36aabda4f99b7693b47dda50f50.png/v1/fill/w_87,h_15,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_d228a36aabda4f99b7693b47dda50f50.png)
Esta Medida da Assimetria será sempre igual a ZERO se os Quartis forem equidistantes da Mediana; positiva se Q3 se afastar mais da Mediana do que Q1 e negativa em caso contrário.
Pelo Método C.Q.A., considera-se a curva não muito assimétrica quando os limites variam entre ±0,20. Podendo aplicar-se o Modelo (Teórico) Estatístico da Curva Normal.
Vantagem: Esta Medida de Assimetria é uti1izada, quando se empregam os Desvios dos Quartis em relação à Mediana como Medida de Dispersão e não se pode calcular o Desvio Padrão.
OBSERVAÇÃO :
- os resultados não possuirão valores numéricos iguais porque são computados a partir de pontos de referência diferentes. Todos os resultados concordarão, entretanto, quanto à indicação da assimetria, se positiva ou negativa, da Distribuição dada.
- Na comparação da assimetria de duas ou mais distribuições é necessário, evidentemente, aplicar a mesma fórmula.
- Quanto mais normal for a distribuição, ou seja, mais simétrica, mais próximo de zero estará o valor do coeficiente de Assimetria utilizado.
5.2 - CURTOSE
5.2.1 – DEFINIÇAO
Curtose é o menor ou maior grau de "achatamento” da Distribuição ou Curva de Frequência considerada em relação a uma Curva Normal representativa da Distribuição.
5.2.2 – CÁLCULO DA CURTOSE
Baseado nos Quartis e Centis, obtém-se o valor da Curtose de uma Distribuição ou Curva de Frequência e que é dado pela expressão:
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_55a691b28739464a86c8af0d138aa098.png/v1/fill/w_195,h_46,al_c,q_85,blur_3,enc_auto/26a617_55a691b28739464a86c8af0d138aa098.png)
5.2.3 – TIPOS DE CURTOSE
a) Se o valor de K=0,263 então o Grau de "achatamento" ou Grau de Curtose é igual ao da Curva Normal (simétrica) de mesma área e
denomina-se a este tipo de Curva MESOCÚRTICA.
b) Se K > 0,263 a distribuição é mais achatada do que a Curva Normal de mesma área e diz-se que é uma Curva PLATICÚRTICA.
c) Se K < 0,263 a distribuição é menos achatada (mais afilada) do que a Curva Normal de mesma área, denominando-se de Curva
LEPTOCÚRTICA.
![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_ab48248467d948abaf16e2ecd4e37ffe.png/v1/fill/w_97,h_58,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,blur_2,enc_auto/26a617_ab48248467d948abaf16e2ecd4e37ffe.png)
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Em Breve estaremos apresentando uma Página especialmente para falar sobre:
a) Significado do Ponto Médio de Classe;
b) Quais as vantagens e desvantagens ao se escolher um número de
classes k muito grande ou muito pequeno;
c) Quando é preferível trabalhar com classes de amplitude desiguais; e etc.
Capítulo 1 - SÉRIES ESTATÍSTICAS E NÃO ESTATÍSTICAS - GRÁFICOS
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: TIPOS OU CLASSIFICAÇÃO
Capítulo 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS OU TABELA DE FREQUÊNCIAS
Capítulo 3 - Medidas de Tendência Central, Separatrizes
Capítulo 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIAVILIDADE)
Capítulo 5 - ASSIMETRIA e CURTOSE
Capítulo 6 - TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE
Capítulo 7 - DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE
___________________
Exercícios Propostos: Capítulos 3 e 4 (Arquivo ".PDF")
Resolução dos Exercícios: Exercício 01 / Exercício 02 / Exercício 03 / Exercício 04 /
Exercício 05 / Exercício 06 / Exercício 07 / Exercício 08 /
Exercício 09 / Exercício 10 / Exercício 11 / Exercício 12 /
Exercício 13 (Já resolvido: Veja a Vídeo Aula) /
______________________
TABELAS (Capítulo 7):
I - Distribuição Normal; II - Distribuição Binomial
Exercícios Propostos: Capítulo 7 (Arquivo ".PDF")
Resolução dos Exercícios do Capítulo 7:
Exercício Resolvido (5) ⇒ YouTube
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