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ESTATÍSTICA
Disciplina: Probabilidade e Estatística
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(Teorema de Bayes)
Parte 01 - Exemplo 01 - Introdutório
Uma das relações mais importantes envolvendo Probabilidades Condicionais é dada pelo teorema de Bayes, ¹ que expressa uma probabilidade condicional em termos de outras probabilidades condicionais e Probabilidades Marginais. Vejamos um exemplo introdutório antes de apresentarmos, formalmente, este teorema.
Exemplo 01: Tomemos 5 urnas exatamente iguais, cada uma com 6 bolas. Duas dessas urnas (tipo T1) têm 3 bolas PRETAS, duas outras (tipo T2) têm 2 bolas PRETAS, e a última urna (tipo T3) tem 6 bolas PRETAS. Escolhemos uma ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a probabilidade da urna escolhida ser do tipo T3, sabendo-se que a bola sorteada é PRETA?
Na Figura a seguir estão presentes o Espaço Amostral e os Eventos de interesse.
CÁLCULO DE PROBABILIDADE - TEOREMA DE BAYES - EXERCÍCIO RESOLVIDO 01
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O objetivo é encontrar Pr(T1/P), sabendo que
Pr[T1]=2/5 (Lê-se: probabilidade da urna escolhida ser do tipo T1. Pr[P/T1]=1/2 (Lê-se: probabilidade da bola sorteada ser
Preta dado que a urna escolhida foi a do tipo T1.
Pr[T2]=2/5 (Lê-se: probabilidade da urna escolhida ser do tipo T2. Pr[P/T2]=1/3 (Lê-se: probabilidade da bola sorteada ser
Preta dado que a urna escolhida foi a do tipo T2.
Pr[T3]=1/5 (Lê-se: probabilidade da urna escolhida ser do tipo T3. Pr[P/T3]=1 (Lê-se: probabilidade da bola sorteada ser
Preta dado que a urna escolhida foi a do tipo T3.
Segundo a definição de probabilidade condicional, vem que:
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(A)
Não é difícil encontrar Pr[P] uma vez que o numerador é conhecido. E saber obter o valor da probabilidade deste evento (ou seja ocorrência de bola preta) é o ponto crucial na expressão geral do Teorema de Bayes. Sendo T1, T2 e T3 Eventos Mutuamente Exclusivos, e que a União destes é o Espaço Amostral todo, é possível decompor o Evento P, como Reunião de três outros, mutuamente exclusivos, ou seja:
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![](https://static.wixstatic.com/media/26a617_d7c3d6bf341f421cacb43587223ff628.gif)
com os disjuntos , já que os Ai são disjuntos.
(B)
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Assim,
→ (OBSERVAÇÃO: Se M e N são disjuntos, então Pr[M U N]=Pr[M] + Pr[N])
Finalmente, substituindo este resultado em (A) obtém-se:
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_________________________
(1) Este teorema tem importantes aplicações em Sistemas Especialistas do tipo "back-chaining" (regras de produção com encadeamento para trás) com aplicação a
Diagnósticos (diagnósticos de doenças em Medicina; em diagnósticos de defeitos em automóvel e etc.).
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