MATEMÁTICA: Geometria Descritiva Mudança de Planos - Introdução e Exemplo / ensinoeinformacao

MATEMÁTICA

Disciplina: Geometria Descritiva

Métodos Descritivos: Mudança de Planos

(Introdução)

Introdução e Exemplos

Uma Explanação: Objeto x Observador!

Começaremos o estudo dos Métodos Descritivos abordando a questão da Mudança de Plano, por exemplo, Mudança de Plano Vertical aplicada a um Objeto e Observador. Temos na figura a seguir uma Perspectiva Isométrica (Isométrica: aconselhável, pois permite que marquemos as Medidas de maneira que a perspectiva reproduza o mais próximo da realidade ou Verdadeira Grandeza dos elementos que compõe o Objeto). Convencionamos os Diedros I, II, II, e IV marcados no sentido Horário em relação ao posicionamento da Perspectiva Isométrica no Espaço Tridimensional R³ a qual foi adotada para dispor o Objeto.

Temos aí um Objeto um Sólido um Prisma, mais precisamente, um Paralelepípedo Reto Retangulo e/ou Paralelepípedo Retângulo e/ou Ortoedro - é um Prisma Reto ou seja, suas Arestas Verticais são perpendiculares ao plano da base e suas bases são Retângulos (neste caso específico, as Bases são um Quadrado de lados 0,50x0,50m e quatro Faces Laterais iguais medindo 0,50mx5,60m) este Paralelepípedo está Afastado do Plano de Projeção Vertical pi2 0,60m e sua altura maior de seus pontos se encontra a uma Cota de 5,60m em relação ao Plano Horizontal de Projeção pi1. Temos um Observador que se encontra Afastado deste Objeto 0,95m e Afastado do Plano Vertical de Projeção pi2 0,60+0,50+0,95= 2,05m. Na Posição em que o Observador se encontra, ele observa olhando Perpendicularmente ao Plano de Projeção Vertical pi2 um Retângulo (lado do Paralelepípedo) na sua Verdadeira Grandeza (a qual denominamos de V.G.) de dimensões 0,50m na base e Altura 5,60m.

Com respeito a este Objeto um Paralelepípedo, tanto em Perspectiva quanto em Épura, podemos afirmar que:

a) as Arestas AB, DC, EF, e GH são Retas Fronto-Horizontais. Isto é, as Projeções Verticais (no Plaono pi2) e Horizontais (no Plano pi1) destas retas são paralelas à Linha de Terra pi1pi2.

b) Também, ainda, sob o ponto de vista do Observador, as Retas DH, CG, AE, e BF são Retas de Topo. Isto é, as Projeções Verticais (no Plano pi2) se reduzem a um ponto e as Projeções Horizontais (no Plano pi1) são perpendiculares à Linha de Terra pi1pi2.

c) Ainda, sob o ponto de vista do Observador, as Retas AD, BC, EH, e FG são Retas Verticais, isto é, suas Projeções Verticais (no Plano pi2) são perpendiculares à Linha de Terra pi1pi2 e suas Projeções Horizontais (no Plano pi1) se reduzem a um ponto.

OBSERVAÇÃO: Veremos em Épura todas estas Arestas que constiuem o Objeto o Paralelepípedo!

Há determinados problemas em Geometria Descritiva que só podem ser resolvidos se os Objetos ocupam uma posição particular em relação aos Planos de Projeção pi1 e pi2 e em cada um dos quatro diedros. Quando isso não é possível, usamos processos chamados MÉTODOS DESCRITIVOS, que consistem em modificar de posição o Objeto ou o alterar o Sistema de Planos de Projeção. São três as maneirade de relacionar o Objeto e o Observador par a solução de problemas em geometria descritiva:

I – Mudança de Plano – Consiste em manter fixo o Objeto no espaço e substituir um dos Planos de Projeção pi1 e pi2, ou ambos.

II – Rotação – Consiste em conservar o Sistema Projetivo (ambos os Planos de Projeção pi1 e p2 são mantidos inalterados), girando o Objeto no espaço em torno de um determinado Eixo perpendicular ao Plano de Projeção Horizontal pi1.

III – Rebatimento – É um caso particular de Rotação em que o Eixo de Rotação (perpendicular a pi1) está contido no Plano de projeção Vertical pi2).

A seguir, veremos o que se entende por Mudança de Plano, mais precisamente aqui uma Mudança de Plano Vertical. Nesta Mudança de Plano vertical é o Observador que muda de posição em relação ao Objeto. O propósito desta mudança de posição do Observador é tentar visualizar aspectos do Objeto (pontos, segmentos de retas, lados do objetos e etc: são elementos que constituem este obeto!) sob um novo Ponto de Vista deste Observador.. Aqui nesta Mudançã de Pano vertical, vemos que o Observador decidiu mudar sua posição não mais estando de frente para o Plano Vertical pi2 original, mas estando agora num novo Sistema Projetivo que consite do Plano Horizontal pi1 original (este se mantem inalterado) e um novo Plano Vertical agora denominado de pi'2. Devemos ficar atentos ao fato de que agora a Interseção dos Planos Horizontal pi1 e o novo Plano Vertical pi12 dão origem a uma nova Linha de Terra pi1pi'2. Note-se que segundo esta Mudança de Plano Vertical trocando pi2 por pi'2 os segmentos de retas que contituem o Objeto têm suas novas Projeções no novo Plano pi'2 e com respeito a este Objeto um Paralelepípedo, podemos afirmar agora que:

a) As Arestas AB, DC, EF, e GH são agora Retas Horizontais. Isto é, suas Projeções Verticais (no Plaono pi2) são paralelas à nova Linha de Terra pipi'2 e as Projeções Horizontais (no Plano pi1) destas retas são Oblíquas à nova Linha de Terra pi1pi'2.

b) Também, ainda, sob o novo ponto de vista do Observador, as Retas DH, CG, AE, e BF são agora, também, Retas Horizontais. Isto é, suas Projeções Verticais (no Plano pi'2) são paralelas à nova Linha de Terra pipi'2 e as Projeções Horizontais (no Plano pi1) destas retas são Oblíquas à nova Linha de Terra pi1pi'2.

c) Ainda, sob o novo ponto de vista do Observador, as Retas AD, BC, EH, e FG se mantêm como Retas Verticais, isto é, suas Projeções Verticais (no Plano pi'2) são perpendiculares à Linha de Terra pi1pi'2 e suas Projeções Horizontais (no Plano pi1) se reduzem a um ponto.

OBSERVAÇÃO: Veremos em Épura todas estas Arestas que constiuem o Objeto o Paralelepípedo!

Segundo esta Mudança de Plano Vertical pi'2 temos que ter em mente:

i) As Cotas (Altura de elemento do Objetos em relação ao Plano Horizontal pi1) se matêm inalteradas.

ii) Já os Afastamento que são as distâncias dos elementos que contituem o Objeto em relação ao novo Plano de Projeção pi'2 são diferentes, pois temos sempre a possibilidade segundo nosso interesse em arbitrar uma nova posição para pi'2.

OBSERVAÇÃO: Se tivéssemos posicionado o novo Plano vertical pi'2 entre o Objeto e o Observador, teríamos o Objeto contido no II Diedro - mas isto não é interessante de modo geral já que o ideal é trabalhar sempre que possível o problema já estando no I Diedro!

Exemplo de Aplicação de uma Mudança: Aqui iremos fazer duas Mudanças de Plano seguidas!

O objetivo aqui é o de determinar a VG (verdadeira Grandeza) de uma Figura Plana um Triângulo ABC contido num Plano Qualquer (na verdade, um Triângulo é uma das maneiras de definir um plano e outras maneiras seriam: duas retas concorrentes e/ou duas retas paralelas no Espaço Tridimensional R³. A Figura 1 abaixo mostra em Épura o Triângulo ABC.

Figura 1: Triângulo ABC contido num Plano Qualquer.

(Épura)

Solução do Problema Proposto:

Passo 1 - Uma breve inspeção nos lados do Triângulo ABC nos diz que o Lado (Segmento) AB está contido em uma Reta Frontal (Uma reta projetante). Assim a VG de AB é igual a A2B2, isto é AB=A2B2. Isto nos facilita a obtenção da VG do Triângulo e logo veremos o por quê. Se nenhum dos lados do triângulo é uma reta Projetante então um passo a mais (Passo 0) é antecipado no sentido de tornar primeiro este lado projetante e daí dar cumprimento a este Passo 1. Em resumo aqui no passo 1 nosso objetivo é o de fazer com que o Observador veja esta semento ou Reta Frontal AB como sendo uma Reta vertical. Para isto iremos fazer primeiro uma Mudança de Plano Horizontal (veremos mais tarde em detalhes ela é feita - adiantamos que ainda é o Observador que muda sua posição em relação ao objeto só que des vez vira-se par direita ou esquerda, isto é o Plano Horizontal se mantêm perpendicular a pi2 só que numa posição de Hozizontal originalmente para de Topo) como é feitacomo mostrado abaixo.

Para transformar sob o ponto de vista do Observador a Reta que era Frontal AB em uma Reta de Topo, devemos posicionar a nova Linha de Terra denotada por LT de maneira que esta seja perpendicular à Projeção Vertical A2B2. Note-se que como é uma Mudança de Plano Horizontal, ao contrário da Mudança de Plano Vertical, os Afastamento Originais com respeito ao Palno Vertical pi1 deve ser mantida independentemente do Posicionamento da nona Linha de Terra (pi'1pi2 - abreviadamente escrita como LT), ou seja do no Plano vertical pi1. Assim a distância de A1 de pi1pi2 deve ser a mesma e aplicada abaixo da Linha de Terra LT como sendo A'1 e distância de B1 de pi1pi2 deve ser a mesma e aplicada abaixo da Linha de Terra LT como sendo B'1, o que tora AB uma Reta de Topo para o novo Referencial!

Passo 2 - Em seguida fazemos uma Mudança agora sim de Plano Vertical cujo objetivo é transformar sob o ponto de vista do Observador a Reta BC numa Reta Horizontal. Feito isso teremos a VG do Triângulo ABC pois seus dois lados AB e BC são conhecidas suas VG e por conseguinte o lado AC tem sua verdadeira grandeza como sendo igual ao segmento A''2C''2. Mais precisamente, o Triângulo se apresenta para o Observador contido este Triângulo ABC agora em um Plano Frontal - note que a Projeção Horizontal do Triângulo é paralelo a Linha de Terra T'L' demosntrando que A''2B''2C''2 é o Triângulo ABC visto Frontalmente (ou de frete para o Plano vertical pi'1pi'2). Note-se que a reta AB se mantêm como sendo uma Reta de Topo!