Geometria Diferencial: Exemplo de Superfície Não-Orientada

MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Geometria Diferencial

Superfície Não-Orientada

Exemplo: Faixa de Möbius - O porquê desta superfície não ser Orientada!

Definimos uma Superfície Parametrizada Regular ou simplesmente uma superfície sendo uma aplicação F:UСR² → R³, U subconjunto aberto de R², tal que:

a) F é diferenciável de classe C∞ (isto é, quando as funções x(u,v); y(u,v); e z(u,v) possuem derivadas parciais de todas as ordens contínuas;

b) Para todo ponto q=(u,v) ϵ U, a Diferencial de F em q denotada por dFq:R² → R³ é injetora. Isto é, a superfície possui um Plano Tangente neste ponto q dado.

Consideremos como exemplo de Superfície Parametriza Regular a Superfície denominada de Faixa de Möbius cuja a parametrização é a seguinte:

F(u, v)= ((3 - v Sen (u/2)) Sen u, (3 - v Sen(u/2) Cos u, v Cos(u/2))

Uma Faixa de Möbios ou Banda de Möbius ou Fita de Möbius em Geometria Diferencial sendo uma Superfície Parametrizada Regular (ou em TOPOLOGIA GERAL: Espaço Vetorial Topológico) obtida pela colagem das duas extremidades de uma Faixa, após efectuar meia (torcer) volta numa delas. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858.

Möbius estudou este objeto em 1858 tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a Teoria Geométrica dos Poliedros Johann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objeto alguns meses antes. O fato de tanto Möbius como Listing terem estudada alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas idéias esteja ligada a este matemático.

A importância do estudo deste objeto, na época, prendia-se à noção de Orientabilidade, que não era ainda bem compreendida.

______________________________________

Möbius introduziu também a noção de Triangulação no estudo de objetos geométricos do ponto de vista topológico. Möbius apenas publicou o seu trabalho em 1865, num Artigo intitulado "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders".

Propriedades da Faixa de Möbius:

É uma superfície com uma componente de fronteira;

É Não-Orientada (Não possui Lado bem definido) ;

Possui apenas uma borda.

A Faixa de Möbius é uma Superfície Parametrizada Regular que não possui Vetor Normal bem definido em nenhum ponto da superfície conforme mostra a figura abaixo ilustrando este fato através do movimento de uma formiga (exemplo clássico) ao longo de uma trajetória, isto é, ao longo de uma Curva Parametrizada Regular contida na superfície em questão. Esta formiga parte de um ponto P situado na superfície de Möbius e retornado ao ponto P.

Em cada ponto da curva (ou da superfície) têm-se três vetores: T (Vetor Tangente); B (Vetor Bi-Normal); e N (Vetor Normal). Estes três vetores constituem uma Base Ortonormal do Espaço Tridimensional R³ – Base porque os três vetores são Linearmente Independentes e como estão em R³, estes Geram R³ (ou seja, qualquer vetor de R³ pode ser obtido a partir da Combinação Linear destes três vetores T, B e N) e assim formam uma Base de R³; e por serem Ortogonais (direções destes vetores são perpendiculares entre si, isto é, formam ângulo de 90 graus entre si – equivale dizer que os Produtos Escalares <T,B>=0, <T,N>=0 e <B,N>=0.). Independente de estarmos dentro do contexto da Geometria Diferencial, através do Cálculo Vetorial em R³ é possível estabelecer (ou deduzir) o Triedo ou Fórmulas de Frenet (Ver Arquivo PDF) que é apresentado a seguir: Importante ver no Triedo que k e τ Números Reais sendo, respectivamente, a Curvatura e Torção da Curva em R³ e que estes valores aparem como fatores de proporção - exemplo, ||T´(s)||=|k|.||N|| (lê-se: Norma de T´(s) é igual ao Módulo de k multiplicado pela Norma de N)!

Note-se que aqui k é a Curvatura de uma Curva Parametrizada Regular α(s) contida na Superfície Parametrizada Regular definida por uma função F:U⊂R²→R³, U Sub-Conjunto Aberto de R³, F(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)). A derivada primeira de α(s), isto é, α´(s)=T(s) o vetor tangente à esta curva na direção da trajetória de uma partícula percorrendo esta curva. Por outro lado, a derivada segunda α´´(s)=T´(s) que é o vetor aceleração desta curva apontando no mesmo sentido e direção de α´(s) sendo que ||α´(s)||=1 supondo a Curva Parametrizada pelo Comprimento de Arco s (na verdade s(t)) .

A Torção τ mede o quanto a Curva tende a sair do Plano e vir a tornar-se uma curva com três coordenas, isto é, estar Imersa em R³.

OBSERVAÇÃO: A partir do Triedo de Frenet apresentado acima, estamos mais próximos de falar sobre o Teorema de Gauss-Bonnet o qual, já mencionamos em outra ocasião, relaciona a Característica de Euler (conceito e/ou definição puramente Topológico) e a Curvatura Gaussiana (conceito e/ou definição puramente Geométrica)!

OBSERVAÇÃO: Foi apresentado acima O porquê desta superfície não ser Orientada!

OBSERVAÇÃO: Mais detalhes da Faixa de Möbius os quais devem ser abordados:

I) A Construção desta Superfície;

Ia) A Primeira Faixa Möbius segundo desenho ou concepção de Möbius;

Ib) Propriedades relacionadas ao Corte de tal Superfície;

Ib) Paradoxos envolvendo esta Superfície; e etc.