Teoria

Geometricamente, as restrições lineares definem um poliedro convexo, que é chamado de Conjunto dos Pontos Viáveis. Uma vez que a função objectivo é também linear, todo ótimo local é automaticamente um ótimo global (É um Teorema dentro da Análise Matemática: Um estudo crítico do Cálculo Diferencial e Integral). A função objetivo ser linear também implica que uma solução ótima pode apenas ocorrer em um ponto da fronteira do conjunto de pontos viáveis. (É um Teorema dentro da Análise Matemática: Um estudo crítico do Cálculo Diferencial e Integral).

 

Existem duas situações nas quais uma solução ótima não pode ser encontrada. Primeiro, se as restrições se contradizem (por exemplo, x ≥ 2 e x ≤ 1) logo, a região factível é vazia e não pode haver solução ótima, já que não pode haver solução nenhuma. Neste caso, o PL é dito inviável.

Alternativamente, o poliedro pode ser ilimitado na direção da função objetivo (por exemplo: maximizar x1 + 3x2 sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≥ 10), neste caso não existe solução ótima uma vez que soluções arbitrariamente grandes da função objetivo podem ser construídas, e o problema é dito ilimitado.

 

Fora estas duas condições patológicas (que são frequentemente eliminadas por limitações dos recursos inerentes ao problema que está sendo modelado, como acima), o óptimo é sempre alcançado num vértice do poliedro (É um Teorema). Entretanto, o ótimo nem sempre é único (Problema de Unicidade de Soluções não é garantido neste caso de PL): é possível ter um conjunto de soluções ótimas cobrindo uma aresta ou face do poliedro, ou até mesmo o poliedro todo (Esta última situação pode ocorrer se a função objetivo for uniformemente igual a uma constante).

 

 

Algoritmos

O Algoritmo Simplex resolve problemas de PL construindo uma solução admissível no vértice do poliedro, e então percorre os vértices do poliedro que sucessivamente possuem valores mais altos da função objectivo até encontrar o máximo. Embora este algoritmo seja bastante eficiente na prática, e seja garantido de encontrar um óptimo global se certas condições para se evitar ciclos forem assumidas, ele é fraco no pior-caso (ver Ordem de Complexidade de Algoritmos): é possível construir um problema de programação linear prático para o qual o método simplex realiza uma quantidade exponencial de passos em relação ao tamanho do problema. Na verdade, por algum tempo não se soube se problemas de programação linear eram NP-completos ou tinham solução em tempo polinomial.

 

O primeiro algoritmo de programação linear em tempo polinomial no pior-caso foi proposto por Leonid Khachiyan em 1979. Foi baseado no [método do elipsóide] da nonlinear optimization de Naum Shor, que é uma generalização do método da elipsóide da [optimização convexa] de Arkadi Nemirovski, uma dos ganhadores do John von Neumann Theory Prize 2003, e D. Yudin.

 

Entretanto, a performance prática do algoritmo de Khachiyan é desapontante: geralmente, o método simplex é mais eficiente. Sua grande importância é que ele encoraja a pesquisa dos métodos de Pontos Interiores (Ponto Interior quando não é Ponto pertencente a Fronteira do Conjunto Viável - Ponto Interior ou Ponto de Fronteira são Conceitos ou Definições detro da Área da Topologia quer seja em Espaços Métricos ou não) - repetindo, um ponto é Interior quando não é um ponto de Fronteira. Ao contrário de algoritmo simplex, que apenas evolui ao longo de pontos na fronteira da região factível, métodos de ponto interior podem se mover pelo interior da região factível (Viável).

 

Em 1984, Narendra Karmarkar propôs seu método projetivo, que tornou-se o primeiro algoritmo a apresentar um bom desempenho tanto na teoria como na prática: seu pior-caso de Complexidade é Polimonial (Ver Ordem de Complexidade de Algoritmos) e os problemas práticos de experiência mostram que ele é razoavelmente eficiente em comparação com o algoritmo simplex. Desde o método de Karmarkar, muitos outros métodos de pontos interiores têm sido propotos e analisados. Um método bastante popular é o Método Preditor-Corretor de Mehrotra, cuja atuação possui bom desempenho na prática, ainda que pouco se saiba sobre ele na teoria.

 

A opinião mais recente entre os estudiosos é que a eficiência das boas implementações dos métodos baseados em simplex e dos pontos interiores são similiares para a aplicação de rotina no programa linear.

 

As soluções do programa linear estão em uso generalizado de otimização de diversos problemas na indústria, como a otimização de fluxo de transporte, que pode ser transformada em problemas de programação linear sem muitas dificuldades.