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SIMULAÇÃO DE SISTEMAS
Disciplina: Método Monte Carlo
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(ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES (TEÓRICAS) DE PROBABILIDADE)
Curso (Continuação...)
O MÉTODO MONTE CARLO - ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES (TEÓRICAS) DE PROBABILIDADE
ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES (TEÓRICAS) DE PROBABILIDADE
No exemplo da Bolsa de Valores o comportamento da variável aleatória “preço da ação” foi descrito por Distribuições Empíricas Discretas. Este tipo de distribuição não é uma exigência da Simulação Monte Carlo. Qualquer variável pode ser representada por uma Distribuição Teórica, desde que, naturalmente, a distribuição descreva adequadamente a variável. De fato, é possível representar uma variável por uma distribuição empírica, e outra variável por uma distribuição teórica no mesmo modelo de simulação. Neste capítulo, serão apresentadas três Distribuições Teóricas importantes, e a forma de geração destas variáveis aleatórias.
a) Distribuição de POISSON
A Distribuição de Poisson é utilizada em muitos Problemas de Fila de Espera (Ver Teoria das Filas) para descrever a taxa de chegada. É uma Distribuição Discreta. Dada pela seguinte Função de Probabilidade:
(1)
Onde: X=Variável aleatória definida pela Função Distribuição de Probabilidade de POISSON;
x=Valor assumido pela variável aleatória X;
µ =Média da População.
Suponha que uma variável X deva ser representada por uma distribuição de Poisson com Média µ =1,1. Então, com o uso da expressão (1) pode-se obter o valor das probabilidades P(x=x), a partir das quais se obtém P(X ≤ x), conforme é mostrado na Tabela de Geração de Eventos a seguir:
Tabela: Geração de Eventos segundo Distribuição de POISSON com Média µ =1,1
b) Distribuição Normal
Para se usar a Distribuição Normal na descrição de uma variável , deve-se obter a Média e o Desvio-Padrão. Se a variável X de um problema poder ser considerada CONTÍNUA e Normalmente Distribuída, então pode-se mostrar através do Teorema do Limite Central que é possível gerar uma Sequência de Números Pseudo-Aleatórios Normalmente Distribuídos, com Média µ e Desvio-Padrão σ, a partir de Números Pseudo-Aleatórios Uniformemente Distribuídos (Ver Distribuição Uniforme) usando, para tanto, a seguinte expressão:
(2)
Onde: n=Número Pseudo-Aleatório Normalmente Distribuído, com Média µ e Desvio-Padrão σ;
k=Constante Empírica; recomenda-se k=12, por motivos de simplificação da expressão (2);
ri=Números Paseudo-Aleatóriros definidos no intervalo [0,1].
Portanto, considerando k=12, para cada geração de Números Pseudo-Aleatórios Normalmente Distribuídos, há necessidade de se gerar 12 Números Pseudo-Aleatórios Uniformemente Distribuídos no intervalo [0,1].
Exemplificando, sejam os DOZE números pseudo-aleatórios uniformemente distribuídos, apresentados no Conjunto P abaixo, e seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com Média =3 e Desvio-Padrão σ=1,2. Então, um primeiro número pseudo-aleatório gerado para descrever o comportamento de X poderia ser:
P={0,10 ; 0,37 ; 0,08 ; 0,99 ; 0,12 ; 0,66 ; 0,31 ; 0,85 ; 0,63 ; 0,73 ; 0,98 ; 0,11}.
Obtendo-se DOZE novos Números Pseudo-Aleatórios Uniformemente Distribuídos, um novo valor de n poderia, igualmente, ser obtido.
c) Distribuição Exponencial
A Distribuição Exponencial é uma Distribuição CONTÍNUA amplamente utilizada nos Problemas de Simulação. Para usá-la, a Média µ deve ser Conhecida ou Estimada. A sua Função Distribuição de Probabilidade Acumulada é dada por:
(3)
Se a variável X puder ser considerada contínua, então pode-se mostrar que o Pseudo-Número Aleatório ni dado pela expressão abaixo tem Distribuição Exponencial com Média µ .
ni=- µ Ln ri (4)
Onde ri é um Número Pseudo–Aleatório Uniformemente Distribuído no intervalo [0,1] e Ln ri é o Logaritmo Neperiano de ri.
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