Introdução à Teoria dos Números

Nos Basearemos no Conteúdo do Livro escrito por José Plínio de Oliveira Santos - IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - Rio de janeiro

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O livro é uma introdução à Teoria dos Números, escrita em linguagem acessível a alunos a partir do segundo ano de graduação.

Vários resultados importantes são precedidos de exemplos com o objetivo de ilustrar as ideias utilizadas nas demonstrações. Além dos problemas propostos há um significativo número de problemas resolvidos. Para alguns importantes teoremas são apresentadas também, demonstrações combinatórias.

 

Descrição

O estudo das propriedades dos números inteiros positivos é o objetivo central da Teoria dos Números. São três os principais ramos em que se divide a Teoria dos Números: Teoria Elementar, Teoria Analítica e Teoria Algébrica. Neste livro nos limitamos à parte elementar da Teoria dos Números, onde apresentamos resultados básicos, não apenas para o estudo das partes Analítica e Algébrica, como também, para os demais ramos da Matemática.

 

Introduzimos os conceitos através de um significativo número de exemplos procurando, desta forma, motivar o leitor antes deste ter contato com demonstrações formais.

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No Capítulo 1, estudamos propriedades elementares sobre divisibilidade no conjunto dos números inteiros, sendo Algoritmo da Divisão (Teorema 1.2) o resultado mais importante. Duas das várias provas da infinitude dos primos são fornecidas.

 

No Capítulo 2, introduzimos o importantíssimo conceito de congruência onde a contribuição de Gauss foi fundamental. Teoremas de Euler, Fermat e Wilson são apresentados, não deixando de discutir o chamado Teorema do Resto Chinês.

 

O Princípio da Casa dos Pombos, apresentado no Capítulo 3, nem sempre é encontrado em textos introdutórios como este. Nosso objetivo, ao fazer isto, foi o de apresentar alguns aspectos combinatórios relacionados com Teoria dos Números. Demonstrações combinatórias para o Pequeno Teorema de Fermat e para o Teorema de Wilson são apresentadas neste Capítulo.

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No capítulo 4, introduzimos algumas importantes funções aritméticas e relações entre elas. Além de uma caracterização dos números perfeitos pares dada por Euclides e Euler, introduzimos a importantíssima sequência dos Números de Fibonacci.

 

No estudo de Resíduos Quadráticos, feito no Capítulo 5, introduzimos o Símbolo de Legendre que nos permite obter informações sobre a existência ou não de soluções para a congruência X² equivalente a (modp). Nisto também contribuíram, de forma fundamental, Euler e Gauss. Apresentamos uma das várias demonstrações existentes da chamada Lei de Reciprocidade Quadrática de Gauss.

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Uma completa caracterização dos números que possuem raízes primitivas é dada no Capítulo 6.

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No Capítulo 7, fornecemos alguns resultados clássicos sobre a representação de inteiros como soma de quadrados

 

Frações contínuas, objeto de estudo do Capítulo 8, é uma vasta área em Teoria dos Números, da qual apresentamos apenas alguns importantes resultados dentre os quais destacamos a obtenção de aproximações de irracionais por racionais.

 

O conceito de Partições de um inteiro, onde Euler contribuiu de maneira fundamental, é introduzido no Capítulo 9, uma demonstração combinatória para o Teorema dos Números Pentagonais de Euler.

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A equivalência entre a Primeira e Segunda formas do Princípio da Indução Finita e o Princípio da Boa Ordem é dada no Apêndice A. No Apêndice B, apresentamos mais duas provas da infinitude dos primos. Um interessante resultado sobre a distribuição dos primos, o Postulado de Bertrand, é fornecido no Apêndice C.

 

Conteúdo

Divisibilidade

1.1 Introdução
1.2 Divisibilidade
1.3 O Algoritmo da Divisão
1.4 O Máximo Divisor Comum
1.5 O Algoritmo de Euclides
1.6 Números Primos
1.7 Mínimo Múltiplo Comum
1.8 Critérios de Divisibilidade
1.9 Problemas Resolvidos
1.10 Problemas Propostos

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Congruência

2.1 Congruência
2.2 Congruência Linear
2.3 Os Teoremas de Euler, Fermat e Wilson
2.4 O Teorema do Resto Chinês
2.5 Problemas Resolvidos
2.6 Problemas Propostos

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Teoria Combinatória dos Números

3.1 Princípio da Casa dos Pombos
3.2 Generalizações – Exemplos
3.3 Demonstração Combinatória do Pequeno Teorema
3.4 Demonstração Combinatória do Teorema de Wilson
3.5 Problemas Propostos

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Funções Aritméticas

4.1 Funções Aritméticas
4.2 A Função Phi de Euler
4.3 A Função µ de Möbius
4.4 A Função Maior Inteiro
4.5 Uma Relação Entre as Funções Phi e µ
4.6 Números Perfeitos
4.7 Recorrência e Números de Fibonacci
4.8 Problemas Resolvidos
4.9 Problemas Propostos

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Resíduos Quadráticos

5.1 Resíduos Quadráticos
5.2 Símbolo de Legendre e o Critério de Euler
5.3 Lema de Gauss
5.4 Lei de Reciprocidade Quadrática
5.5 Símbolo de Jacobi
5.6 Problemas Resolvidos
5.7 Problemas Propostos

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Raízes Primitivas

6.1 Raízes Primitivas
6.2 Raízes Primitivas Módulo p^t
6.3 Raízes Primitivas Módulo 2p^t
6.4 Somente 1, 2, 4, p^t, 2p^t Possuem Raízes Primitivas
6.5 Símbolo de Jacobi
6.6 Problemas Resolvidos
6.7 Problemas Propostos

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Representação de Inteiros como Soma de Quadrados

7.1 O Problema de Waring
7.2 Soma de Dois Quadrados
7.3 Soma de Quatro Quadrados
7.4 Um Teorema de Unicidade de Euler
7.5 Problemas Resolvidos
7.6 Problemas Propostos

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Frações Contínuas

8.1 Definição – Notação
8.2 Convergentes
8.3 Aproximações Sucessivas
8.4 Propriedades dos Convergentes
8.5 Problemas Resolvidos
8.6 Problemas Propostos

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Partições

9.1 Partições
9.2 Gráfico de uma Partição
9.3 Funções Geradoras
9.4 Problemas Resolvidos
9.5 Problemas Propostos

1. Os Princípios da Boa Ordem e da Indução Finita
2. Sobre a Infinidade dos Primos
3. O Postulado de Bertran

 

Bibliografia
Índice

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Autor

José Plínio de Oliveira Santos

José Plínio de Oliveira Santos, mineiro de Lambari, é bacharel e mestre pela Unicamp, e doutor pela Pennsylvania State University. Trabalha desde 1976 no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Unicamp, tendo chefiado o Departamento de Matemática aplicada entre 1994 e 1998. É coautor do livro “Introdução à Análise Combinatória”.