MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Topologia Geral

Iniciaremos a abordagem da Topologia Geral fazendo menção a dois livros os quais tomaremos como livros-textos. A partir daí, colocaremos os tópicos a serem efetivamente tratados segundo nossa visão da disciplina e que estes tópicos possam ser discutidos em detalhes para uma melhor compreensão dos mesmos.

LIVRO 01: TOPOLOGIA GERAL. Seymour Lipschutz, Editora McGra W-HILL DO BRASIL, LTDA./MEC, 1973.

OBSERVAÇÃO: Motivação para a escolha deste livro reside no fato de ser um livro de fácil compreensão e por - de costume dos livros da COLEÇÃO SCHAUM - possuírem um número significativo de EXERCÍCIOS RESOLVIDOS (650) E PROBLEMAS PROPOSTOS (391).

1) PREFÁCIO / Prefácio da Edição Brasileira / ÍNDICE (para nossa conveniêcia consideraremos como EMENTA 01) /

LIVRO 02: (Logo, o divulgaremos.)

Veja a seguir os seguintes conteúdos já disponíveis. Para tomar conhecimento da lista completa dos conteúdos vistos nesta disciplina, clique no ícone "PROGRAMA" acima. OBSERVAÇÃO: Alguns dos assuntos estão divididos em partes as quais podem ser acessadas clicando nos links abaixo.

Tópicos Disponíveis:

1) Topologia Geral: Introdução e Definição de Espaços Topológicos / Veja o Vídeo /

2) Característica de Euler e Poliedros de Platão /

3) Homeomorfismo: Introdução /

Tópicos Complementares:

1) Cardinalidade: Introdução /

2) Princípio de Indução Matemática

Introdução; A Sequência dos Números Naturais; Os Axiomas de Peano; O Axioma da Indução, Princípio da Indução - Exemplo 1; Adição e Multiplicação de Números Naturais; Ordem: Teorema 1: Transitividade, Teorema 2: Comparabilidade, Teorema 3: Tricotomia, Teorema 4: não Existe Número Natural entre n e n+1, Teorema 5: Monotonicidade; Boa Ordenação - Teorema 6: Princípio da Boa Ordenação; Princípio da Indução Generalizado - Exemplos 2 e 3; Teorema 8:Toda função monótona não-crescente f: N → N é constante a partir de um determinado ponto. (Isto é, existe n0 ∈ N tal que f(n) = f(n0), para todo n ≥ n0.); Corolário: Toda sequência decrescente n1 > n2 > … de números naturais é finita. Com efeito, do contrário, pondo f(k) = nk, obteríamos uma função estritamente decrescente f : N → N.

Segundo Princípio da Indução - Teorema 9: (Segundo Princípio da Indução); Teorema 10: (Segundo método de demonstração por indução) - Exemplos 4, 5 ,6, e 7.

Números Cardinais - Teoremas 11 e 12

Exercícios de 1 a 22.

Topologia Geral: Introdução

Diferente da Topologia Geral, o estudo de Espaços Métricos se inicia com o conceito de Conjunto Aberto A sendo aquele em todo ponto a pertencente a A é Ponto Interior deste conjunto A, isto é, que existe uma Bola Aberta com Centro no ponto a e certo Raio tal que esta Bola Aberta esteja contida no conjunto A.

Para Espaços Métricos depois é que se introduz o conceito e/ou definição de MÉTRICA para as definições subsequentes: Conjunto Fechado (para o qual seu Conjunto Complementar é um Conjunto Aberto); definições de Ponto de Acumulação; Ponto Aderente; Fronteira de um Conjunto; Conjunto Conexo; Conjunto Convexo; Conjunto Limitado; Conjunto Compacto; Cobertura de um Conjunto; e etc.

Topologia Geral

OBSERVAÇÃO: Esta definição de Conjunto Aberto acaba sendo um caso particular da definição (e, portanto, equivalente) bem diferente da de Conjunto Aberto apresentada em Topologia Geral!

Definição é de Espaço Topológico: Seja X um conjunto não-vazio. Uma Classe £ de subconjuntos de X é uma Topologia em X se, e somente se, £ satisfaz os seguintes axiomas:

[01] X e ∅ pertencem a £;

[02] A união de um número qualquer de conjuntos de £ pertence a £;

[03] A interseção de dois conjuntos quaisquer de £ pertence a £.

Os elementos de £ chamam-se Conjuntos £-Abertos, ou simplesmente Abertos, e X, juntamente com £, isto é, o par (X,£), é chamado um Espaço Topológico.

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Fonte para a definição axiomática de Espaço Topológico:

LIPSCHUTZ, Seymour. Tradução:FARIA, Alfredo Alves de.: "TOPOLOGIA GERAL". COLEÇÃO SCHAUM, Editora MacGraw-Hill do Brasil, Ltda./MEC, Rio de Janeiro, 1970.

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ObservaçÃO: Quem escreve um livro com o título “Topologia Geral” e o começa mencionando Conjunto Aberto como sendo aquele para o qual todo ponto deste conjunto é um Ponto Interior não está escrevendo um livro sobre TOPOLOGIA GERAL e sim sobre Espaços Métricos. E se, além disso, este escritor deixa de mencionar o exemplo clássico da “Topologia Cofinita”(Arquivo ".PDF) com sendo um primeiro exemplo muito importante no estudo dos chamados “Axiomas de Separação”, então este escritor está muito longe de estar escrevendo sobre Topologia Geral!