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Disciplina: Topologia Geral
MATEMÁTICA PURA
Poliedros de Platão:
Existem cinco, e somente cinco classes de poliedros de Platão. (Veja o porque desta afirmação)
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Tetraedro
V = 4
A = 6
F = 4 |
Cubo
V =8
A=12
F=6 |
Octaedro
V = 6
A = 12
F = 8 |
Dodecaedro
V=20
A =30
F=12 |
Icosaedro
V=12
A=30
F=20 |
(Poliedros de Platão e a Característica de Euler)
Para todo poliedro Fechado e Convexo, ou para sua Superfície Fechada e Convexa, como nos exemplos acima (tipos especiais de poliedros de Platão), vale a relação de Euler:
V - A + F=2
onde V é o número de Vértices, A é o número de Arestas e F é o número de Faces do poliedro. Nos exemplos acima, estes poliedros são ditos Poliedros Regulares. O número V + F - A é a Característica de Euler da Superfície. *
OBSERVAÇÃO: Imagine um cubo aberto com 4 Faces, faltando apenas duas Faces opostas (isto é, quando extraímos o fundo e a tampa) como mostrado na figura abaixo.
Temos V=8, F=4 e A=12. Então, a relação é V - A + F=0 . Insto acontece justamente porque a Superfície não é Fechada. Em outras palavras é necessário que cada Aresta esteja contida em EXATAMENTE duas Faces para que o Teorema a que estamos nos referindo (de que a Característica de Euler de um Poliedro Fechado e Convexo é igual a 2) se cumpra.
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* O número 2 (dois) que aparece na relação de Euler tem um significado importante no estudo de Topologia e Geometria Diferencial, mais precisamente, quando se fala no Teorema de Gauss-Bonnet o qual relaciona, de forma impressionante, estas duas disciplinas, fundindo-se os conceitos "Característica de Euler" (da Topologia) e " Curvatura Gaussiana (da Geometria Diferencial)".
Este número "2" é chamado de Característica de Euler para Superfícies Compactas e Orientadas de R³ . Esta característica de Euler neste contexto de Geometria Diferencial e Topologia acaba sendo uma generalização (Extensão) do exemplo de poliedros (o Cubo, por exemplo) e nos diz que topologicamente não existe distinção entre um CUBO e qualquer superfície compacta e orientada de R³, pois estas Superfícies têm a mesma Característica de Euler cujo valor é 2 - isto é, CUBO, TETRAEDRO, ESFERA (contendo os dois Polos) ou qualquer outra Superfície Fechada e Orientada de R³ são Homeomorfas (elas podem ser deformadas e Transformadas uma na outra por meio de uma Função Contínua (uma deformação contínua, ou seja, sem precisar cortar a Superfície).
Comentários da "ensinoeinformacao.com"!
Poliedros de Platão e a Característica de Euler:
Temos aqui mais espaço para tentarmos entender o alcance do Teorema de Gauus-Bonnet o qual relaciona duas Áreas da Matemática Pura: Curvatura Gaussiana definição puramente geométrica vista em Geometria Diferencial; e Característica de Euler definição puramente Topológica vista, obviamente em Topologia. Mas a final em termos práticos o que vem a ser a característica de Euler? Com esta Página falando dos Poliedros Regulares, mais precisamente, dos 5 Poliedros de Platão, esperamos caminhar no sentido de podermos, em algum momento, apresentar o Teorema de Gauss-Bonnet e tornar mais fácil a sua compreensão!
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