Definição: Um conjunto é finito se e somente se é vazio ou é equivalente a {1,2, .. , n} para algum n ∈ N (Conjunto do números Naturais); caso contrário, é chamado infinito. Obviamente, dois conjuntos finitos serão equivalentes se, e somente se, contiverem o mesmo número de elementos. Então, para conjuntos finitos, identificam-se os conceitos "equivalência" e "mesmo número de elementos".

Exemplo 1.1: Sejam os conjuntos N={1,2,3, ... } e E={2, 4, 6, ... }. A função j : N → E definida por j (x)=2x é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja uma função Bijetora. Logo, N é equivalente a E.

 

 

a) Demontração de que a função j é Injetora: Pela definição de Injetora, se x1 ≠ x2 pertencentes a N, então obrigatoriamente deve-se ter j(x1) ≠ j(x2). Então Suponhamos por Redução ao Absurdo (Demonstração por Redução ao Absurdo!) que j leva x1 e x2 ,com x1 ≠ x2, no mesmo valor, isto é, f(x1)=f(x2). Assim, 2x1=2x2, ou seja usando a Lei do Cancelamento (Para todo Domínio de Integridade vale a lei do Cancelamento: Veja isto quando o Assunto é Matrizes) tem-se x1=x2 o que contradiz a hipótese de ser x1 ≠ x2.

 

b) Demonstração de que a função j é Sobrejetora: Pela definição de Sobrejetora, dado um elemento b ∈ E, deve existir (único, para ser Função!) a ∈ N tal que j(a)=b. Observemos que a função j leva todo e qualquer elemneto de N em um número Par (números da forma 2k, com k número Natural (N) ou Inteiro (Z). Assim, seja b ∈ E, logo b é da forma b=2k (número Par) e por coseguinte tomando k ∈ N tem-se j(k)=2k=b ∈ E.

 

 

Exemplo 1.2: A função j: (-1, 1) → R, definida por j (x)=x / (1 - |x|) é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja uma função é Bijetora.

Conjunto Finito: Identifiquemos pelo símbolo In o Conjunto (1,...,n} dos números naturais desde 1 até n Mais precisamente, dado n ∈ N, temos

                                                                          In={p ∈ N; 1 ≤ p ≤ n}.

Um Conjunto cham-se M Finito quando é Vazio (M= ∅) ou quando existe , para algum n ∈ N, uma Bijeção

                                                                          

                                                                           φ: In → M  

                                            

 

No caso de M= ∅, dizemos que que M tem zero elementos. No outro caso mais geral, dizemos que M tem n elementos.  E os seguintes fatos decorrem imediatamente desta definição:

a) cada conjunto In é finito e possui n elementos;

b) se g:X → Y é uma Bijeção, então um desses conjuntos é Finito se, e somente se, o outro é.

Intuitivamente, uma bijeção φ: In → X significa uma contagem dos elementos de X. Pondo φ(1)=x1, φ(2)=x2, ...,φ(n)=xn, temos X={x1, x2, ...,xn}. Esta é a representação Ordinária de um Conjunto Finito.

 

Teorema: Se X é um Conjunto Finito, então todo subconjunto Y ⊂ X é Finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y=X.

 

Note-se que o Conjunto W={4,7,8,9} ⊂ X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Logo, W é um Conjnto Finito. 

 

Definição: Um Conjunto é dito Infinito quando não é Finito.

 

 

Definição: Seja N o Conjundos números naturais. Um Conjunto X é dito Enumerável quando é Finito ou quando existe uma Bijeção g: N → X. No segundo caso, X é dito Infinito Enumerável e, pondo x1=g(x1), x2=g(2),...., xn=g(n),...., tem-se X={x1,x2,....,xn,....}. Cada g:N → X chama-se uma Enumeração de (dos elementos) de X.

 

Teorema: Todo Conjunto Infinito X contém um Subconjunto Infinito Enumerável. (Ver demonstração página 39 Elon lages Lima).

Corolário: Um Conjunto X é Infinito se, e somente se, existe uma Bijeção h: X → Y, de X sobre uma parte própria  Y ⊂ X.

Logo, um Conjunto é Finito se, e somente se, não admite uma Bijeção uma sua parte própria, como já mencionado anteriormente.  Obtém-se assim uma caracterização dos Conjuntos Finitos na qual não intervém o Conjunto dos Números Naturais N. OBSERVAÇÃO: Esta foi a maneira que Dedeking (Álgebra: corpo numérico; inteiros algébricos; ideal; anel; conjunto infinito; Análise: números reais; números irracionais; continuidade; limite.) - Arquivo no Formato ".PDF" - definiu Conjunto Finito.

Teorema: Seja N o Conjunto dos Números Naturais. Então, todo Sub-Conjunto X ⊂ N é Enumerável. (Ver demonstração página 39 Elon lages Lima).

Corolário: Um Sub-Conjunto de um Conjunto Enumerável é, também, Enumerável.

CONCEITO DE CARDINALIDADE (o Número Cardinal):

Se A é equivalente a B, isto é, A ∼ B, então dizemos que A e B têm o mesmo Número Cardinal, ou a mesma Cardinalidade. Indica-se por # (A) o "Número Cardinal de A", ou a "Cardinalidade de A". Então, # (A) = # (B) se e somente se A ∼ B. A propósito, se A e B são dois Conjuntos Finitos com # (A) = n (A tem n Elementos) e # (B) = m (B tem m Elementos), então três afirmações distintas e únicas podem ser feitas (TRICOTOMIA):

                           

                     a) n = m [equivalentemente, A ∼ B, em que existe uma bijeção entre A e B];

 

 

 

 

                     b) n < m [equivalentemente, # (A) < # (B), em que existe um função Injetora f:A → B. Mas não existe uma função Sobrejetora de A em B.

 

 

 

 

 

                    c) m < n [equivalentemente, # (B) < # (A), em que existe um função Injetora f:B → A. Mas não existe uma função Sobrejetora de B em A.

Em breve, estaremos falando da Cardinalidade do Intervalo [0,1] e por conseguinte dos Números Reais: A CARDINALIDADE DO CONTÍNUO!

 

Texto a ser Editado. Aguardem!