Ensino&Informação - Vídeos Sobre Espaços Métricos:

Espaços Métrico é um caso particular de um Espaço Topológico.

 

Ensino&Informação:

Espaço Topológico: Sendo X um Conjunto diferente do Conjunto Vazio, uma Topologia em X é uma Família ψ(X) de Subconjuntos de X que satisfaz três condições:

     a) X e ∅ ∈ ψ;    

    b) Dada uma Sub-Família Arbitrária ξ ⊂ ψ(X), então a Reunião Qualquer de elementos de ξ está cotida em ξ;    

    c) a Interseção de um número finito n de elementos de ξ está cotida em ξ.

Dizemos então que X com esta Topologia é Um Espaço Topológico. A defiição de Conjunto Aberto vem na sequência.

 

Em outras palavras, uma topologia é uma família de subconjuntos de X tais que o conjunto vazio e o conjunto X devem pertencer à topologia; a reunião arbitrária de elementos da topologia deve pertencer à topologia e a intersecão finita de elementos da topologia deve pertencer à topologia. Os elementos de ξ são ditos Conjuntos Abertos de X ou simplesmente Abertos de X. O par (X;ξ) é chamado Espaço Topológico.

 

 

Espaço Métrico: Na definição de espaço Métrico se inicia com a definição de Métrica e na sequência definição de Ponto Interior. Sendo X um Espaço Métrico, pode ser Monstrado que um Conjunto A ⊂ X é um Conjunto Aberto de X se, e somente se,  todo a ∈ A é Ponto Interior de A - Isto é, existe uma Bola Aberta B(a,ε) com Centro em a e Raio ε, contida em A ou seja, B(a,ε) ⊂ A. Pode ser mostrado, ainda, que um Conjunto A ⊂ X é um Conjunto Aberto de X se, e somente se, A é um Conjunto Aberto quando X é tratado como um Espaço Topológico.