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MATEMÁTICA PURA
Disciplina: Variáveis Complexas
PROGRAMA
OBSERVAÇÃO: Optamos por escolher a ementa da disciplina “Variáveis Complexas” retirada do livro VARIÁVEIS COMPLEXAS E SUAS APLICAÇÕES do Autor RUEL V. CHURCHILL Professor de Matemática da Universidade de Michigan: Tradução de Tadao Yoshika Professor de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo-USP; Revisão Técnica de Alfredo Alves de Farias Professor Adjunto do Instituto de Ciências Exatas (Depto. Matemática) da Universidade federal de Minas Gerais. Este livro é adotado em nível de Graduação em muitas das Universidades Brasileiras para o Curso de VARIÁVEIS COMPLEXAS (Área da Matemática Pura). Este programa nos guiará para a criação de tópicos a serem abordados dentro desta Área! Este programa nos propiciará, também, disponibilizar a SOLUÇÃO de muitos Exercícios propostos pelo autor.
NÚMEROS COMPLEXOS
Definição. Propriedades Adicionais. Representação Geométrica. Conjugados Complexos. Valores Absolutos. A Forma Polar. Produtos, Potências e Quocientes. Extração de Raízes. Regiões no Plano Complexo.
FUNÇÕES ANALÍTICAS
Funções de uma Variável Complexa. Transformações. Limites. Continuidade. A Derivada. Fórmulas de Derivação. As Condições de Cauchy-Riemann, Condições Suficientes. Funções Analíticas. Funções Harmônicas.
FUNÇÕES ELEMENTARES
A Função Exponencial. Outras Propriedades de exp z. As Funções Trigonométricas. Outras Propriedades de Funções Trigonométricas. Funções Hiperbólicas. A Função Logarítmica. Ramos. Propriedades dos Logaritmos. Expoentes Complexos. Funções Trigonométricas Inversas.
TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES
Funções Lineares. A Função zn: A Função 1/z. O Ponto no Infinito.
A Transformação Linear Fracionária. Transformações Lineares Fracionárias Especiais. A Função Z1/2. Outras Funções Irracionais. A Transformação w=exp (z). A Transformação w=Sem (z). Transformações Sucessivas. Tabela de Transformações de Regiões.
INTEGRAIS
Integrais Definidas. Caminhos. Integrais Curvilíneas. Exemplos. O Teorema de Cauchy-Goursat. Um Teorema Preliminar. Demonstração do Teorema de Cauchy-Goursat. Domínios Simplesmente Conexos e Multiplamente Conexos. Integrais Indefinidas. A Fórmula Integral de Cauchy. Derivadas
de Funções Analíticas. Teorema de Morera. Módulos Máximos de Funções. O Teorema Fundamental da Álgebra.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Séries de Taylor. Observações e Exemplos. Séries de Laurent. Propriedades
de Séries. Convergência Uniforme. Integração e Derivação de Séries de
Potências. Unicidade de Representações por Séries de Potências. Multiplicação e Divisão. Exemplos. Zeros de Funções Analíticas.
RESÍDUOS E POLOS
Resíduos. O Teorema do Resíduo. Polos. Quocientes de Funções Analíticas. Cálculo de Integrais Reais Impróprias. Um Outro Exemplo. Integrais
Impróprias Envolvendo Funções Trigonométricas. Integrais Definidas de
Funções Trigonométricas. Integração em torno de um Ponto de Ramificação.
TRANSFORMAÇÕES CONFORMES
Rotação de Tangentes. Transformação Conforme. Exemplos. Funções
Harmônicas Conjugadas. Funções Inversas. Transformação de Funções
Harmônicas. Transformação de Condições de Contorno.
APLICAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES CONFORMES
Temperaturas Estacionárias. Temperaturas Estacionárias numa' Parede.
Temperaturas num Quadrante com Parte de Uma Fronteira Isolada.
Potencial Elétrico. Potencial num Espaço Cilíndrico. Escoamento de
Fluido Bidimensional. A Função Corrente. Escoamento ao redor de um
Canto. Escoamento ao redor de um Cilindro.
A TRANSFORMAÇÃO DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL
Transformação do Eixo Real num Polígono. A Transformação de Schwarz-
Christoffel. Triângulos e Retângulos. Polígonos Degenerados. A Faixa
Infinita. Escoamento de Fluido num Canal através de uma Fenda. Escoamento num Canal com um "Offset". Potencial Eletrostático junto a uma Placa Condutora.
FÓRMULAS INTEGRAIS DE POISSON
Fórmula Integral de Poisson. Um Problema de Dirichlet para o Círculo.
Problemas de Contorno Relacionados. Fórmulas Integrais para o Semi-
plano. Um Problema de Dirichlet para o Serniplano. Problemas de
Neumann para Regiões Circulares. Um Problema de Neumann para o
Semiplano.
COMPLEMENTOS SOBRE TEORIA DAS FUNÇÕES
Prolongamento Analítico
Condições sob as Quais f(z)=0. Permanência de Formas de Identidades Funcionais. Unicidade do Prolongamento Analítico. Exemplos. O Princípio de Reflexão.
Pontos Singulares e Zeros
Pólos e Zeros. Pontos Singulares Essenciais. O Número de Zeros e Pólos.
Superfícies de Riemann
Uma Superfície para a Função log (z). Uma Superfície para a Função z1/2 . Superfícies para Outras Funções Irracionais.
Prefácio à edição Brasileira
O texto, que ora se apresenta à comunidade estudantil, em língua portuguesa, granjeia de certa tradição junto a especialistas em ramos da Engenharia e da Física, dado o preparo abrangente desses em disciplinas classificadas como Métodos
Matemáticos.
Também é um texto muitas vezes usado na primeira familiarização de estudantes de Matemática em nível de graduação, com a teoria das funções complexas.
A primeira edição data de 1948. A presente tradução baseia-se na segund edição (ampliada e revisada), publicada em 1960. Seu conteúdo deve ser contemplado nessa cronologia.
A exposição é feita no estilo clássico discursivo e operacional adequado a estudantes de 5o período de cursos nas áreas de ciências e de tecnologia. Exercícios são formulados, em geral, a cada duas ou três seções que abranjam suficiente material para resolvê-los, Isto permite certa eficiência na absorção imediata dos conceitos que são introduzidos a cada passo. Tais exercícios, devido a esse objetivo, são, em sua grande maioria, de resolução direta, possuindo suficiente informação, de modo a não torná-los excessivamente algébricos, mas, por outro lado, dosados de maneira a evitar uma rotina de cálculos.
Compreendida a intenção do Autor - pioneira na época - em tornar acessível a um grande público os métodos e resultados da teoria das funções complexas de uma variável complexa, é fácil planejar sua adoção em disciplinas adequadas e destinadas a estudantes de ciência aplicada e tecnologia. O texto pode ser coberto em um único semestre, desde que demonstrações não essenciais sejam omitidas, assegurando os objetivos de compreensão do conteúdo dos enunciados e suas utilizações como ferramentas matemáticas.
Guilherme M. de La Penha, Ph. D.
Diretor Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prefácio
A teoria das funções de uma variável complexa é uma das partes básicas da análise matemática. Sua influência pode ser notada em quase todos os ramos da matemática. Além de ser proeminente na matemática pura e de possuir uma estrutura lógica elegante, a teoria representa um dos instrumentos mais poderosos dos matemáticos aplicados, engenheiros e físicos.
O primeiro objetivo deste livro é a apresentação de um desenvolvimento lógico daquelas partes da teoria clássica, que mais se destacam nas aplicações da matéria. Exceto para alguns conceitos geométricos que podem ser aceitos intuitiva-
mente, a presente apresentação pretende ser rigorosa e auto-suficiente. A seleção dos métodos de demonstração e o arranjo dos tópicos foram feitos tendo-se em vista a simplicidade e a brevidade, por vezes com sacrifício da elegância. Se, num curso de um semestre, se quiser dar maior ênfase à teoria dos resíduos e das transformações conformes, o tempo que se pode dedicar à teoria que antecede é limitado e seu desenvolvimento tem de ser bem conciso.
O segundo objetivo é o de dar uma introdução a aplicações, inclusive os usos da teoria dos resíduos e das integrais curvilíneas no cálculo das integrais reais, e aplicações das transformações conformes a problemas de potenciais, temperaturas estacionárias e escoamento de fluidos. As aplicações das transformações conformes apresentam um dos métodos clássicos de resolver problemas de contorno nas equações de derivadas parciais, restritos â equação de Laplace com duas variáveis independentes. Assim o livro serve como um volume acompanhante dos livros do autor "Fourier Series and Boundary Value Problems" e "Operational Mathematics", onde são tratados outros métodos Clássicos de resolução de problemas lineares de contorno. No segundo livro dão-se algumas outras aplicações de variáveis complexas em relação com as transformadas de Laplace.
Os resultados básicos são, na maioria, enunciados como teoremas, Ilustram a teoria e as aplicações inúmeros exemplos e exercícios simples. O Apêndice 2 apresenta uma tabela de transformações conformes.
Os nove primeiros capítulos, com várias substituições do resto do livro, serviram por longo tempo como conteúdo de um curso de três horas semanais dado em cada semestre na Universidade de Michigan. As classes consistem principalmente de estudantes graduados e graduandos, especializando-se em engenharia, matemática ou física. Os estudantes têm como pré-requisito o equivalente a um semestre do cálculo avançado. Omitem-se nas aulas, alguns tópicos da matéria, já que os estudantes têm capacidade de entendê-los sem a assistência do instrutor. Como foi observado no início do capítulo 5, os capítulos 8 e 9 sobre transformações conformes e suas aplicações podem ser introduzidos logo após o capítulo 4, caso haja tal necessidade.
O livro é uma revisão extensa da primeira edição, publicada em 1948.Grande parte do material foi reescrito com vistas à exatidão lógica e clareza. O capítulo 11, sobre fórmulas integrais de Poisson, é inteiramente novo. Ao que saiba, o autor, constitui a primeira coleção de tais fórmulas. O número de exercícios foi aumentado consideravelmente, dando-se as respostas para a maioria deles. Algumas extensões da teoria aparecem nos exercícios.
Durante a preparação do livro nesta edição, o autor se valeu de sugestões de vários estudantes e colegas. Dentre seus colegas locais, Prof, C. L. Dolph, B. Dushnik, T. H. Hildebrandt, W. Kaplan e E. D. Rainville merecem agradecimentos especiais. Por comentários proveitosos de colegas, entre os quais J. R. Britton, W. B. Curry, R. J. Duffin, W. L. Duren, T. J. Higgins, I. Marx, M. E.
Shanks e F. H. Steen, o autor expressa sua apreciação. A seleção do material ou dos métodos de demonstração foi influenciada por alguns dos livros cujos títulos se encontram no Apêndice 1.
Ruel V. Churchill
Bibliografia
A seguinte lista de livros, para estudo suplementar da teoria das funções de uma variável complexa e das aplicações da teoria, não pretende ser completa. Outras referências podem ser encontradas em alguns dos livros abaixo relacionados.
TEORIA
Ahlfors, L.V.: "Complex Analysis," McGraw-Hill Book Company, Inc., New
York, 1953.
Bieberbach, L.: "Conformal Mapping," Chelsea Publishing Company, New
York, 1953.
==: "Lehrbuch der Funktionentheorie," vols. 1 and 2, B.G. Teubner, Berlin, 1934.
Caratheodory, c.: "Conforrnal Representation," Cambridge University Press, London, 1952.
==: "Theory of Functions of a Complex Variable," vols. 1 and 2, Chelsea
Publishing Cornpany, New York, 1954.
Copson, E. T.: "Theory of Functions of a Complex Variable," Oxf'ord
University Press, London, 1957.
Dienes, P.: "The Taylor Series: An Introduction to the Theory of Functions
of a Complex Variable," Dover Publications, New York, 1957.
Evans, G.C.: "The Logarithmic Potential," American Mathematical Society,
Providence, R.l., 1927.
Forsy th, A. R.: "Theory of Functions of a Complex Variable," Cambridge
University Press, London, 1918.
Hille, E.: "Analytic Function Theory," vol, 1, Ginn & Company, Boston,
1959.
Hurwitz, A., and R. Courant: "Vorlesungen über allgemeine
Funktionentheorie und elliptische Funktionen," Interscience Publishers,
Inc., New York, 1944. .
Kellogg, O.D.: "Foundations of Potential Theory ," Springer-Verlag OHG,
Berlin, 1929.
Knopp, K.: "Elements of the Theory of Functions," Dover Publications, New
York; 1952.
MacRobert, T.M.: "Functions of a Complex Variable," Macmillan & Co., Ltd.,
London, 1954.
Nchari, Z.: "Conforrnal Mapping," McGraw-Hill Book Company, Inc., New
York, 1952.
Springer, G.: "Introduction to Riemann Surfaces," Addison-Wesley
Publishing Cornpany, Reading, Mass., 1957.
Sternberg, W.J., and T. L. Smith: "Theory of Potential and Spherical
Harrnonics," University of Toronto Press, Toronto, 1944.
Titchmarsh, E.C.: "Theory of Functions," Oxfprd University Press, London,
1939.
Whittaker, E. T., and G. N. Watson: "Medem Analysis," Cambridge
University Press, London, 1950.
APLICAÇÕES
Bowman, F.: "Introduetion to Elliptie Funetions, with
Applications," English Universities Press, London, 1953.
Churchill, R. V.: "Operational Mathematics," 2d ed., MeGraw-Hill
Book Cornpany, Ine., New York, 1958.
Glauert, H.: "The Elements of Aerofoil and Airserew Theory,"
Cambridge University Press, London, 1948.
Green, S.L.: "Hydro-and Aero-dynamics," Sir Isaae Pitman &
Sons, Ltd., London," 1937.
Guillernin, E.A.: "The Mathematies of Cireuit Analysis," John
Wiley & Sons, lnc., New York, 1951.
Jeans, l.H.: "Mathematieal Theory of Eleetricity and Magnetism,"
Cambridge University Press, London, 1925.
Kober, H.: "Dictionary of Conformal Representations," Dover
Publieations, New York, 1952.
Lamb, H.: "Hydrodynamics," Dover Publieations, New York, 1945.
Love, A.E.H.: "Elasticity," Dover Publications, New York, 1944.
Milne-Thomson, L.M.: "Theoretical Hydrodynarnics," Maemillan &
Co., Ltd., London, 1955.
Muskhelishvili, N. I.: "Some Basie Problems of the
Mathematieal Theory of Elastieity," P. Noordhoff, N. V.,
Groningen Netherlands, 1953.
Oberhettinger, F., and W. Magnus: "Anwendung der elliptischen
Funktionen in Physik und
Technik," Springer-Verlag OHG, Berlin, 1949.
Rothc, R., F. Ollendorff, and K. Pohlhausen: "Theory of
Functions as Applied to Engineering Problems," Technology
Press, Massaehusetts Institute of Teehnology, Cambridge,
Mass., 1948.
Smythe, W. R.: "Static and Dynamic Electricity," 2d ed., McGraw-
Hill Book Cornpany, Inc., New York, 1950.
Sokolnikoff, I.S.: "Mathematical Theory of Elasticity," 2d ed.,
MeGraw-Hill Book Cornpany, Inc., New Y órk, 1956.
WaIker, M.: "Conjugare Functions for Engineers," Oxford
University Press, London, 1933.
A partir de 10 Out de 2020
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